02 填-分式不等式

本题导读

本题考查基础分式不等式的求解. 核心逻辑是将分式的“商”关系转化为整式的“积”关系，或通过分子分母的异号性进行分类讨论，是上海卷考查代数运算基本功的常考题型.

📌 【题干】

Question

不等式 $\frac{x-1}{x-3}<0$ 的解集为 ______ .

🔍 【思路分析】

破题导航

解分式不等式的核心原则是“转化”。由于两个数相除的结果为负，等价于这两个数异号.

1. 等价转化法：将分式 $\frac{f(x)}{g(x)}<0$ 转化为整式乘积 $f(x)g(x)<0$.
2. 分类讨论法：根据“正负得负”的原则，讨论分子为正分母为负，或分子为负分母为正两种情况.
3. 序关系定号法：观察 $x-1$ 与 $x-3$ 的大小关系，直接确定哪一项为正，哪一项为负，从而简化计算.

✅ 【答案】

点击查看答案

$(1,3)$

✍ 【详细解析】

Abstract

等价转化法（常规通法） 根据实数运算性质，两个数相除为负，等价于这两个数相乘为负（且分母不为 0）. 因此，不等式 $\frac{x-1}{x-3}<0$ 等价于： $(x-1)(x-3)<0$ 这是一个开口向上的二次函数，其零点为 $1$ 和 $3$。取“两根之间”的部分：$1<x<3$.

其他精彩解法

其他精彩解法：

序关系定号法（快解技巧） 观察分子 $x-1$ 和分母 $x-3$： 对于任意实数 $x$，显然有 $x-1>x-3$. 由于原不等式要求两式相除小于 0（即两式必须异号），根据大小关系，较大的数必须为正，较小的数必须为负. 因此，原不等式直接等价于： $\{\begin{array}{l}x-1>0(\text{较大者为正})\\ x-3<0(\text{较小者为负})\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x>1\\ x<3\end{array}$ 解得：$1<x<3$.

故填：$(1,3)$（或 $\{x\mid 1<x<3\}$）

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 一元二次不等式解集口诀：大于取两边，小于取中间（前提是二次项系数为正）.

• 定义域限制：分式不等式的解集必须包含在分母有意义的范围内.

2. 核心方法：

• $\frac{f(x)}{g(x)}<0⟺f(x)g(x)<0$.这是处理分式不等式最稳妥的变形方式.

• 在分子分母 $x$ 系数相同时，利用“序关系定号”可以省去一半的分类讨论步骤.

3. 避坑指南： 若题目中含有等号（如 $⩽0$），转化时必须强调分母不为 0，即 $\frac{f(x)}{g(x)}⩽0⟺\{\begin{array}{l}f(x)g(x)⩽0\\ g(x)\ne 0\end{array}$.本题为严格小于号，故不涉及此陷阱.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 对于高次分式不等式 $\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)}>0$，推荐使用“穿根法”（数轴穿针法）求解.

2. 方法的推广: - 穿根法：从小到大排列零点，从右上角开始穿线，奇穿偶回.

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

专题合集 (Series)

📂 【管理档案】

索引与状态

• 工序状态：
• 资产预留：