06 填-期望

本题导读

本题考查离散型随机变量数学期望的基础计算. 通过分布列中随机变量的取值及其对应的概率，直接套用期望定义公式即可求解，是上海卷概率统计板块的必得分题.

📌 【题干】

Question

已知随机变量 $X$ 的分布为 $\left(\begin{array}{ccc}5& 6& 7\\ 0.2& 0.3& 0.5\end{array}\right)$，则期望 $E(X)=$ ______ .

🔍 【思路分析】

破题导航

本题考查离散型随机变量数学期望的标准定义.

1. 识别分布列：题干给出了 $X$ 的所有可能取值 $x_i$（第一行：5, 6, 7）及其对应的概率 $p_i$（第二行：0.2, 0.3, 0.5）.
2. 套用公式：离散型随机变量的数学期望 $E(X)$ 是其取值的加权平均数.
3. 计算过程：将每个取值与其对应的概率相乘，再将所得的乘积全部相加.

✅ 【答案】

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✍ 【详细解析】

Abstract

根据离散型随机变量的数学期望定义公式： $E(X)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{p}_i$ 代入本题数据： $E(X)=5\times 0.2+6\times 0.3+7\times 0.5$ 分步计算：

• $5\times 0.2=1.0$
• $6\times 0.3=1.8$
• $7\times 0.5=3.5$

求和： $E(X)=1.0+1.8+3.5=6.3$

故填：6.3

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 方差计算：$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。在本题中，若求方差，需先算出 $E(X^2)=5^2\times 0.2+6^2\times 0.3+7^2\times 0.5$.

• 分布列性质：概率之和必须等于 1，即 $\sum p_i=0.2+0.3+0.5=1$.

2. 方法总结：

• 核心概念：数学期望反映了随机变量取值的平均水平.在物理意义上，它相当于概率质量分布的“重心”.
• 快速验算（重心法）：计算结果 $E(X)$ 必须落在随机变量取值的最小值（5）和最大值（7）之间。由于 $x=7$ 的概率最大（0.5），期望值应当明显偏向 7. 结果 6.3 符合这一直观判定.

1. 避坑指南：此类题目难度极低，唯一的失分点在于小数乘法和加法的笔误. 建议在草稿纸上列出分步乘积后再求和.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若 $Y=aX+b$，则 $E(Y)=aE(X)+b$.

. 方法的推广:

• 期望的线性性质：对于任意两个随机变量 $X,Y$（无论是否独立），均有 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

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