09 填-排列

本题导读

本题考查有限制条件的排列问题.通过“特殊位置优先法”确定队列两端的家长排法，再对中间剩余人员进行全排列，是上海卷排列组合板块的典型基础应用题.

📌 【题干】

Question

4 个家长和 2 个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 ______ .

🔍 【思路分析】

破题导航

处理排列组合中的限制条件，核心原则是“特殊优先”：

1. 定位特殊位置：题目要求“头和尾均是家长”，这两个位置是特殊的，必须优先安排.
2. 选择并排列家长：从 4 个家长中选出 2 人安排在头尾.
3. 安排剩余人员：头尾确定后，剩下的 4 个人（2 个家长和 2 个儿童）在中间的 4 个位置没有限制，进行全排列.
4. 计算总数：利用分步乘法计数原理，将两步的结果相乘.

✅ 【答案】

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288

✍ 【详细解析】

Abstract

特殊位置优先法

1. 安排头和尾（特殊位置） 队列共有 6 个位置，头和尾必须从 4 个家长中选出 2 人进行排列. 排法数为：$A_4^2=4\times 3=12$ 种.

2.安排中间 4 人（剩余位置） 头尾位置确定后，还剩下 2 个家长和 2 个儿童，共 4 人. 这 4 人在中间的 4 个空位上进行全排列，没有额外限制. 排法数为：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$ 种.

3.第三步：计算总排法 根据分步乘法计数原理，总排列数为： $N=12\times 24=288$（种）.

故填：288

其他精彩解法

其他精彩解法：

元素主导法（插空法思维）

1. 家长全排列：先让 4 个家长排成一排，排法数为 $A_4^4=24$ 种.

2. 儿童进入间隙：4 个家长排好后（例如：$P_1\underline{}{P}_2\underline{}{P}_3\underline{}{P}_4$），产生了 3 个内部空档.

3. 分步插入儿童：

• 第一个儿童：有 3 个内部空位可选（不能在两端）.
• 第二个儿童：第一个儿童插入后，队列变为 5 人，由于要保持两端是家长，第二个儿童有 4 个内部空位可选（原有的空位加上第一个儿童身边的位置）.
• 儿童插法数为：$3\times 4=12$ 种. 4.计算总数：$24\times 12=288$ 种.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 分步计数原理：完成一件事需分 $n$ 个步骤，各步方法数相乘.

• 全排列公式：$n$ 个不同元素的全排列数为 $n!$.

2. 方法总结： -核心策略：在排列组合中，“先特殊，后一般”是万能钥匙。本题限制的是位置，所以先填位置；若限制的是元素（如某人必须在某处），则先排元素.

3. 避坑指南： 3.1 身份识别：在排队问题中，“人”默认是各不相同的个体，必须使用排列数 $A$（或 $n!$），不能只用组合数 $C$.

3.2 遗漏剩余人员：计算完头尾后，务必确认中间参与全排列的人数是 $6-2=4$ 人.

3.3 模型对比：

• 不相邻：使用插空法;
• 必须相邻：使用捆绑法;
• 在/不在端点：使用特殊位置优先法.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 若 $n$ 个人排队，$m$ 个特定类别的元素必须在两端，则排法数为 $A_m^2\cdot (n-2)!$.

2. 方法的推广: 间接法（排除法）：总排法 $A_6^6$ 减去（头不是家长）减去（尾不是家长）加上（头尾均不是家长）. 在正面分类较多时，间接法更高效.

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略
• 22.01 计数原理、排列与组合

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