13 单-独立事件

本题导读

本题考查概率论中相互独立事件的定义及其乘法公式.通过已知两个独立事件各自发生的概率，直接利用乘法原理求解它们同时发生的概率，是上海卷概率板块的最基础考法.

📌 【题干】

Question

已知事件 $A$、$B$ 相互独立，事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{1}{2}$，事件 $B$ 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{2}$，则事件 $A\cap B$ 发生的概率 $P(A\cap B)$ 为()

A. $\frac{1}{8}$	B. $\frac{1}{4}$	C. $\frac{1}{2}$	D. $0$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 核心概念：若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，意味着事件 $A$ 是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响.
2. 公式推导：根据相互独立事件的定义，它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积.公式表示为：$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
3. 计算步骤：将已知数据代入公式即可.

✅ 【答案】

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B

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 条件提取： $P(B)=\frac{1}{2}$.

2. 求解过程： 根据相互独立事件的概率乘法公式： $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ 代入已知数值： $P(A\cap B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

3. 结论：对应选项 B 正确。 故选：B.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$。当 $A,B$ 独立时，$P(B|A)=P(B)$.

2. 方法总结： 核心判定：题目明确给出“相互独立”字眼时，直接使用乘法公式。若题目未给，需根据实际背景（如放回抽样）判断独立性,

3. 避坑指南：

• 相互独立：$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• 互斥（互不相容）：$P(A\cap B)=0$。即两个事件不能同时发生. 如果本题条件改为“$A,B$ 互斥”，则选 D.
• 符号识别：$A\cap B$ 有时在教材中简写为 $AB$，均表示“事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生”.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 若 $A,B$ 相互独立，则 $\bar{A}$ 与 $B$、$A$ 与 $\bar{B}$、$\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也都相互独立.

2. 方法的推广:

• 全概率公式：用于处理复杂背景下由多个原因引起某一结果的概率计算。

🔗 【关联脉络】

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• 15.02 随机事件、关系与独立性

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