18 解-立体几何综合

本题导读

本题是立体几何的综合解答题. 第一问考查圆锥基本量（底面半径、母线）的计算及侧面积公式；第二问通过圆的几何性质（弧长、平行弦）构造空间平行关系，考查利用面面平行证明线面平行的逻辑推理能力.

📌 【题干】

Question

如图，$P$ 是圆锥的顶点，$O$ 是底面圆心，$AB$ 是底面直径，且 $AB=2$.

（1）若直线$PA$ 与圆锥底面所成的角为 $\frac{\pi }{3}$，求圆锥的侧面积；

（2）已知 $Q$ 是母线 $PA$ 的中点，点$C、D$ 在底面圆周上，且 弧$AC$ 的长为 $\frac{\pi }{3}$，$CD\parallel AB$. 设点 $M$ 在线段 $OC$ 上，证明：直线 $QM\parallel 平面PBD$.

🔍 【思路分析】

破题导航

第一问（计算）：

1. 识别线面角：连接 $PO$。由于 $PO\perp$ 底面，则 $\angle PAO$ 即为直线 $PA$ 与底面所成的角.
2. 求解母线：在 $Rt△POA$ 中，已知底面半径 $AO=1$ 且 $\angle PAO=60^{\circ }$，利用三角函数求出母线 $PA$ 的长.
3. 公式应用：代入圆锥侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$.

第二问（证明）：

1. 目标转化：证明线面平行（$QM\parallel$ 平面 $PBD$）。由于 $M$ 是线段 $OC$ 上的动点，最稳健的方法是证明包含 $QM$ 的平面（平面 $QOC$）平行于平面 $PBD$.
2. 寻找关键平行线 1：利用中点性质。在 $△PAB$ 中，$O,Q$ 分别为 $AB,PA$ 的中点，可证 $QO\parallel PB$.
3. 寻找关键平行线 2：利用底面圆的几何性质。由 $CD\parallel AB$ 及弧长 $AC$ 推导出 $\angle AOC$ 与 $\angle BOD$ 的关系，证明 $OC\parallel BD$.
4. 结论整合：由面面平行推导线面平行.

✍ 【详细解析】

（1）第一问详解

最优解法：

求圆锥的侧面积

• 确定基本量：

  底面直径 $AB=2$，则半径 $r=AO=1$。

• 分析角与长度：

  连接 $PO$。因为 $PO\perp$ 底面，所以 $\angle PAO$ 是直线 $PA$ 与底面所成的角。

  由题意知 $\angle PAO=\frac{\pi }{3}$。

  在 $Rt△POA$ 中，$PA=\frac{AO}{\cos \angle PAO}=\frac{1}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{1/2}=2$。

  即母线长 $l=2$。

• 计算面积：

  $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi \times 1\times 2=2\pi$

(2) 第(2)问详解

最优解法

**（2）证明：直线 $QM\parallel$ 平面 $PBD$ **

• 证明 $QO\parallel$ 平面 $PBD$：

  在 $△PAB$ 中，$O$ 是 $AB$ 的中点，$Q$ 是 $PA$ 的中点。

  $\therefore QO$ 是 $△PAB$ 的中位线，则 $QO\parallel PB$。

  又 $\because PB\subset$ 平面 $PBD$，$QO\not\subset$ 平面 $PBD$。

  $\therefore QO\parallel$ 平面 $PBD$。

• 证明 $OC\parallel$ 平面 $PBD$：

  $\because$ 弧 $AC$ 的长为 $\frac{\pi }{3}$，$AO=1$，$\therefore \angle AOC=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$。

  $\because CD\parallel AB$，根据圆的对称性（或等腰梯形性质），$\angle OCD=\angle AOC=60^{\circ }$。

  又 $OC=OD$（半径），$\therefore △OCD$ 为等边三角形，$\angle COD=60^{\circ }$。

  $\therefore \angle BOD=180^{\circ }-\angle AOC-\angle COD=180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$。

  在底面圆内，$\angle AOC=\angle BOD=60^{\circ }$。

  $\therefore$ 弦 $AC=BD$ 且 $OC\parallel BD$（同位角相等或利用向量/坐标易证）。

  又 $\because BD\subset$ 平面 $PBD$，$OC\not\subset$ 平面 $PBD$。

  $\therefore OC\parallel$ 平面 $PBD$。

• 结论推导：

  $\because QO\cap OC=O$，且 $QO,OC\subset$ 平面 $QOC$。

  $\therefore$ 平面 $QOC\parallel$ 平面 $PBD$。

  $\because M$ 在线段 $OC$ 上，$\therefore QM\subset$ 平面 $QOC$。

  $\therefore QM\parallel$ 平面 $PBD$。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
• 线面平行性质定理：若线面平行，则过该直线的平面与已知平面的交线平行于该直线.

2. 方法总结：

• 中点的暗示：题目给出母线中点 $Q$ 和底面中心 $O$，应敏锐觉察到中位线 $QO$ 及其产生的平行关系.
• 几何性质的挖掘：平行弦所夹的弧相等。由于 $CD\parallel AB$，可以快速推导出 $\angle AOC=\angle BOD$.
• 证明风格建议：对于 $M$ 为线段上动点的平行证明，利用“面面平行”来证“线面平行”是最简洁的。因为它不需要在目标平面内费力寻找具体的平行线，逻辑闭环更严密.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若 $Q$ 是 $PA$ 上的点且满足 $PQ:QA=k$，当 $M$ 在 $OC$ 上移动且满足 $OM:MC$ 的特定比例时，是否仍有平行？（涉及分点性质）

2. 方法的推广:

• 空间向量法：建立空间直角坐标系，通过证明直线 $QM$ 的方向向量与平面 $PBD$ 的法向量垂直（$\vec{v}\cdot \vec{n}=0$）来证明平行.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

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