19 解-导数极值

本题导读

本题是导数应用的综合解答题。第一问考查通过构造函数单调性求解不等式；第二问考查含参函数的极值存在性问题。核心难点在于对导函数零点的分布进行严密的分类讨论，是上海卷考查代数推理能力的中难档题目。

📌 【题干】

Question

已知 $f(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x$，$m\in \mathbb{R}$.

（1）若 $f(1)=0$，求不等式 $f(x)⩽x^2-1$ 的解集；

（2）若函数 $y=f(x)$ 满足在 $(0,+\infty )$ 上存在极大值，求 $m$ 的取值范围.

🔍 【思路分析】

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1. 第一问（不等式求解）： 首先利用 $f(1)=0$ 确定参数 $m$. 代入 $m$ 化简不等式，构造辅助函数 $g(x)$ 并利用导数证明其单调性. 通过函数单调性与零点的比较得出解集.
2. 第二问（极值存在性）：

• 求导并对导函数分子进行因式分解，得到两个潜在极值点 $x_1=1,x_2=\frac{m}{2}$.
• 分类讨论：根据 $m$ 的取值影响零点的位置（是否在定义域内）以及两个零点的大小关系（重根或异侧）进行讨论.
• 寻找导数符号满足“先正后负”特征的区间，从而判定极大值的存在.

✍ 【详细解析】

第(1)问详解

最优解法：

（1）求解不等式

1. 确定 $m$ 的值： $f(1)=1^2-(m+2)\cdot 1+m\ln 1=1-m-2=-m-1$. 由 $f(1)=0$ 得 $-m-1=0⟹m=-1$.

2. 列出不等式： 当 $m=-1$ 时，$f(x)=x^2-x-\ln x$. 不等式 $f(x)⩽x^2-1$ 即为： $x^2-x-\ln x⩽x^2-1⟹x+\ln x-1⩾0$.

3. 构造函数解不等式： 设 $g(x)=x+\ln x-1$（定义域为 $x>0$）. $g^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}>0$，故 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增. 又 $g(1)=1+0-1=0$. 因此由 $g(x)⩾g(1)$ 得 $x⩾1$. 结论：不等式的解集为 $[1,+\infty )$.

(2) 第(2)问详解

最优解法

（2）求 $m$ 的取值范围（极大值存在性）

1. 求导与因式分解： $f^{\prime }(x)=2x-(m+2)+\frac{m}{x}=\frac{2x^2-(m+2)x+m}{x}=\frac{(x-1)(2x-m)}{x}$. 令 $f^{\prime }(x)=0$，得潜在极值点 $x_1=1,x_2=\frac{m}{2}$.

2. 分类讨论 $m$： 情况一：$m⩽0$ $x_2=\frac{m}{2}⩽0$. 在定义域 $(0,+\infty )$ 内，导数只有一个变号零点 $x=1$. 当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$； 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。此时只有极小值，无极大值.

情况二：$m=2$ $x_1=x_2=1$，此时 $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1{)}^2}{x}⩾0$. 函数单调递增，无极值.

情况三：$0<m<2$ 此时 $0<\frac{m}{2}<1$.

当 $x\in (0,\frac{m}{2})$ 时，$f^{\prime }(x)>0$； 当 $x\in (\frac{m}{2},1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$.

导数在 $x=\frac{m}{2}$ 处由正变负，存在极大值.

情况四：$m>2$ 此时 $\frac{m}{2}>1$. 当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$； 当 $x\in (1,\frac{m}{2})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$. 导数在 $x=1$ 处由正变负，存在极大值.

结论：$m$ 的取值范围为 $(0,2)\cup (2,+\infty )$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 导数符号与极值：极大值的核心判定依据是导函数在该点左侧为正、右侧为负.

• 对数函数的单调性：$y=\ln x$ 的增减性决定了 $g(x)=x+\ln x$ 的复合单调性.

2. 方法总结：

• 分类讨论的逻辑：在处理含参二次型分子时，通常按照“判别式 $\Delta$”、“零点是否在定义域内”、“两根大小比较”三个维度展开.
• 因式分解技巧：优先尝试对分子进行因式分解，能避免使用复杂的求根公式，从而清晰地观察零点随参数变化的规律.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若题目要求“恰有一个极值点”，则需讨论判别式 $\Delta =0$ 或其中一个零点落在定义域外的情况.

2.方法的推广:

• 二阶导数判定法：若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 $x_0$ 为极大值点.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

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