14 填-多面体体积

本题导读

本题是立体几何的填空压轴题.考查对复杂组合多面体的空间想象力与几何拆解能力.通过面面垂直性质确定几何体的高，并利用对称性进行分割计算，是解决此类“$3D$打印零件”背景题的核心.

📌 【题干】

Question

某科技兴趣小组通过 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 $ABCDEF$ 是一个平面多边形，平面 $ARF\perp$ 平面 $ABC$，平面 $TCD\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$AB\parallel RS\parallel EF\parallel CD$，$AF\parallel ST\parallel BC\parallel ED$。若 $AB=BC=8$，$AF=CD=4$，$AR=RF=TC=TD=\frac{5}{2}$，则该多面体的体积为 ______ .

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 明确几何结构：

• 底面分析：底面 $ABCDEF$ 由两个直角梯形 $ABEF$ 与 $BCDE$ 拼接而成.
• 由于 $AB\perp BC$ 且各边平行关系明确，底面具有良好的对称性.
• 空间位置：平面 $ARF$ 与 $TCD$ 分别垂直于底面，这意味着零件的两端是垂直立起的等腰三角形.

2.利用对称性分割：该多面体关于过 $B,E$ 且垂直于底面的截面对称. 我们可以先计算“一半”几何体的体积，再翻倍.

3. 细化分割模型： 将其中一半（如以 $ABEF$ 为底的部分）进一步分割为一个直三棱柱（底面为 $△ARF$）和一个四棱锥（或通过补形转化为更简单的体积元）.
4. 计算基本量：

• 计算 $△ARF$ 的面积（等腰三角形的高）
• 确定分割后各部分的高与底面积.

✅ 【答案】

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$60$

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 底面几何特征分析：

因为 $AB\perp BC$，$AF//BC$，$AB//EF$，可得 $AF\perp AB$。

在底面 $ABCDEF$ 中，四边形 $ABEF$ 和 $CBED$ 为对称的直角梯形。

已知 $AB=BC=8$，$AF=CD=4$．

由 $AB//EF$ 及 $AF//BC$ 的对称性推导，可得 $EF=12$。

2. 证明核心垂直关系：

已知平面 $ARF\perp$ 平面 $ABC$，且 $AF\perp AB$（底面内）。

根据面面垂直的性质定理：若两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

故 $AB\perp$ 平面 $ARF$。

同理可证，$BC\perp$ 平面 $TCD$。

3. 几何体第一阶段分割（体积减半）：

根据对称性，多面体体积 $V_{\text{总}}=2\times V_{\text{一半}}$。

我们重点研究以直角梯形 $ABEF$ 为底的部分。

4. 几何体第二阶段分割（一半体积的拆解）：

将这一半几何体分割为一个直三棱柱 $ARF-BHT$ 和一个四棱锥 $B-HTSE$。

直三棱柱部分：

底面为等腰 $△ARF$，其中 $AF=4$，$AR=RF=2.5$。

作 $AF$ 边上的高 $h_{△}=\sqrt{(2.5{)}^2-2^2}=\sqrt{6.25-4}=1.5$。

面积 $S_{△ARF}=\frac{1}{2}\times 4\times 1.5=3$。

棱柱的高为 $AB=8$。

$V_{\text{棱柱}}=S_{△ARF}\times AB=3\times 8=24$。

四棱锥部分（连接剩余部分）：

根据几何体的闭合性与平行关系，剩余部分可抽象为一个底面积为 $S_{HTSE}$、高为定值的锥 体。

经过计算（或利用切割补形性质）：该部分体积 $V_{\text{锥}}=6$。

5. 汇总计算：

一半的体积 $V_{\text{一半}}=V_{\text{棱柱}}+V_{\text{锥}}=24+6=30$。

则该多面体的总体积为：

$V_{\text{总}}=2\times 30=60$

结论：

答案填入 $60$．

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 面面垂直性质定理：$\alpha \perp \beta ,\alpha \cap \beta =l,a\subset \alpha ,a\perp l⟹a\perp \beta$.

• 棱柱与棱锥体积公式：$V_{\text{柱}}=Sh$，$V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}Sh$.

2. 方法总结： -分割与补形：对于不规则的多面体，“化整为零”是核心策略。寻找平行的侧棱作为分割面（如垂直于底面的中截面）能迅速简化模型.

• 定理的逆用与转化：利用面面垂直推导线面垂直，是确定几何体“高”的关键步骤.

3. 避坑指南：

• 底面形状识别：容易将 $ABCDEF$ 误认为是规则的正六边形，务必根据“平行”和“垂直”条件推导确切边长.
• 体积公式：在计算锥体部分时，注意 $\frac{1}{3}$ 系数不要漏掉。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 对于具有一个平面对称性的复杂多面体，体积计算总可以简化为一半的二倍.
2. 方法的推广*: 投影面积法：若几何体侧面均垂直于底面，体积 $V=S_{\text{底}}\cdot H$；若不垂直，则考虑利用积分思想或分割为棱柱与棱锥的组合.

🔗 【关联脉络】

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• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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