01 单-集合

本题导读

本题考查离散集合的并集与补集的综合运算。要求考生熟练掌握并集的“合并”定义与补集的“剔除”定义，并能准确处理全集范围内的元素归属问题，是典型的开篇基础 .

📌 【题干】

Question

已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，集合 $A=\{1,3\}$，集合 $B=\{2,3,5\}$，则 ${\complement }_U(A\cup B)=$()

A. $\{1,2,3,4\}$	B. $\{2,3,4\}$	C. $\{2,4\}$	D. $\{4\}$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 优先处理括号内：根据并集的定义 $A\cup B$，将集合 $A$ 与 $B$ 的所有元素合并，重复元素只计一次.

2. 执行补集运算：根据补集的定义 ${\complement }_U(A\cup B)$，从全集 $U$ 中剔除掉属于 $A\cup B$ 的元素，剩余的元素即为所求.

3. 比对选项：将计算结果与选项匹配.

✅ 【答案】

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D

✍ 【详细解析】

Abstract

** 直接运算法

1. 计算并集 $A\cup B$： 已知 $A=\{1,3\}$，$B=\{2,3,5\}$. 合并两集合所有元素： $A\cup B=\{1,2,3,5\}$. （注意：元素 $3$ 是两集合的公共元素，在并集中仅保留一个）.

2. 计算补集 ${\complement }_U(A\cup B)$： 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$. 在全集 $U$ 中寻找不属于 $\{1,2,3,5\}$ 的元素： 对比发现，只有元素 $4$ 满足在 $U$ 中且不在 $A\cup B$ 中. 故 ${\complement }_U(A\cup B)=\{4\}$. 故选：D

其他精彩解法：

** 元素排查法（代入验证）

• 校验元素 $1$：由于 $1\in A$，则 $1\in (A\cup B)$，故 $1\notin {\complement }_U(A\cup B)$，排除 A.
• 校验元素 $2$：由于 $2\in B$，则 $2\in (A\cup B)$，故 $2\notin {\complement }_U(A\cup B)$，排除 B 和 C.
• 校验元素 $4$：$4$ 在全集 $U$ 中，且不在 $A$ 和 $B$ 中，故 $4\in {\complement }_U(A\cup B)$. 综上，只有 D 选项符合。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -空集 $\varnothing$：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

• 元素个数公式：$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.

2. 方法总结： -处理集合复合运算时，遵循“由内而外”的原则。先求括号内的交并集，再求补集.

• 并集（Union）是“并拢”，元素个数通常增加.
• 补集（Complement）是“剩余”，受全集 $U$ 的范围严格限制.

3. 避坑指南：

• 符号混淆：最常见的错误是将并集符号 $\cup$ 看成交集符号 $\cap$。如果本题误算为 ${\complement }_U(A\cap B)$，则会错选 $\{1,2,4,5\}$.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1.结论的推广:

• 若 $A\subseteq B$，则 $A\cup B=B$，此时 ${\complement }_U(A\cup B)={\complement }_{U}B$.

2. 方法的推广:

• 数轴法：当集合元素为连续实数区间（如 $x>1$）时，优先使用数轴法判定边界和开闭性.
• 德·摩根定律（选学技巧）：${\complement }_U(A\cup B)=({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)$。在本题中，${\complement }_{U}A=\{2,4,5\}$，${\complement }_{U}B=\{1,4\}$，两者的交集正是 $\{4\}$.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算 类题演练 (Links)
• 专题合集 (Series)

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