03 单-函数的性质

本题导读

本题考查根据函数图象辨析解析式。核心逻辑是利用图象的对称性判定奇偶性，再通过特定区间（如定义域内的分段区间）内函数值的正负号进行排除，是高考数学中考查函数综合性质的典型题目 .

📌 【题干】

Question

已知函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示，则 $f(x)$ 的解析式可能为 ()

A. $f(x)=\frac{x}{1-|x|}$	B. $f(x)=\frac{x}{|x|-1}$	C. $f(x)=\frac{|x|}{1-x^2}$	D. $f(x)=\frac{|x|}{x^2-1}$

🔍 【思路分析】

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1. 观察对称性：首先通过图象关于 $y$ 轴对称判定函数为偶函数，排除不符合奇偶性的选项.

2. 观察定义域与渐近线：确认图象在 $x=\pm 1$ 处无意义，四个选项均满足此分母不为 0 的条件.

3. 利用函数值符号判定：观察图象在特定区间（如 $0<x<1$）内的正负情况，通过代入特殊值进行排除.

✅ 【答案】

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D

✍ 【详细解析】

Abstract

1.利用奇偶性排除 由图象可知，函数图象关于 $y$ 轴对称，因此 $f(x)$ 应为偶函数，满足 $f(-x)=f(x)$.

对于 A 选项：$f(-x)=\frac{-x}{1-|-x|}=-\frac{x}{1-|x|}=-f(x)$，为奇函数，排除.

对于 B 选项：$f(-x)=\frac{-x}{|-x|-1}=-\frac{x}{|x|-1}=-f(x)$，为奇函数，排除.

2.利用函数值符号排除 剩余选项 C 和 D 均为偶函数。观察图象可知，当 $x\in (0,1)$ 时，函数图象位于 $x$ 轴下方，即 $f(x)<0$.

C 选项：取 $x=0.5\in (0,1)$，则 $f(0.5)=\frac{|0.5|}{1-(0.5{)}^2}=\frac{0.5}{0.75}=\frac{2}{3}>0$。这与图象在该段为负值不符，故排除 C.

D 选项：取 $x=0.5\in (0,1)$，则 $f(0.5)=\frac{|0.5|}{(0.5{)}^2-1}=\frac{0.5}{-0.75}=-\frac{2}{3}<0$。符合图象特征.

3.进一步验证 当 $x>1$ 时（例如 $x=2$），D 选项 $f(2)=\frac{2}{4-1}=\frac{2}{3}>0$，符合图象在 $|x|>1$ 时位于 $x$ 轴上方的特征. 故选：D

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： 绝对值函数的处理：$|x|$ 保证了函数的偶性，但在分段求导或分析时需去掉绝对值符号讨论.

2. 方法总结： -核心技巧：“一看、二算、三代入”

• 一看：看对称性（奇偶性）、周期性、单调性趋势.

• 二算：计算定义域、零点、渐近线位置.

• 三代入：代入特殊值（如 $x=0,1,\frac{1}{2},e,\pi$ 等）确定函数值的正负和大小.

• 排除法的高效性：在选择题中，直接推导解析式往往困难且耗时，利用函数的性质快速排除错误项是得分的关键.

3. 避坑指南： C 和 D 选项互为相反数，考生在处理分母 $1-x^2$ 与 $x^2-1$ 的符号时极易因粗心出错.建议务必通过具体的数（如 $0.5$）进行硬核代入.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若图象在 $x\to \infty$ 时趋于 0，则分子的最高次数应小于分母。本题中 $D$ 选项 $f(x)\approx \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$，当 $x\to \infty$ 时 $f(x)\to 0$，完美契合图象趋势.

2.方法的推广: -导数法：对于更复杂的图象，可通过求导判断极值点的位置来辅助辨析.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)
• 专题合集 (Series)

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