04 单-线面与面面关系

本题导读

本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.要求考生熟练掌握空间平行与垂直的判定定理及性质定理，并能通过构造简单的几何模型（如长方体）进行逻辑排查，是天津卷立体几何板块的常规基础题.

📌 【题干】

Question

若 $m$ 为直线，$\alpha ,\beta$ 为两个平面，则下列结论中正确的是()

A. 若 $m//\alpha$，$n\subset \alpha$，则 $m//n$	B. 若 $m\perp \alpha$，$m\perp \beta$，则 $\alpha \perp \beta$	C. 若 $m//\alpha$，$m\perp \beta$，则 $\alpha \perp \beta$	D. 若 $m\subset \alpha$，$\alpha \perp \beta$，则 $m\perp \beta$

🔍 【思路分析】

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解决立体几何性质判定题，最有效的方法是定理对标与反例排查：

1. 选项 A：考查线线平行的判定。线面平行只能说明直线与平面内直线无公共点.
2. 选项 B：考查面面平行的性质。垂直于同一条直线的两个平面位置关系是固定的.
3. 选项 C：考查面面垂直的判定。可以通过寻找平面内的垂直直线进行转换.
4. 选项 D：考查面面垂直的性质。注意直线在平面内位置的随机性.

✅ 【答案】

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C

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 选项 A 判定 若 $m//\alpha$，$n\subset \alpha$，则直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 无公共点，进而直线 $m$ 与直线 $n$ 也没有公共点. 但在空间中，没有公共点的两条直线可能是平行，也可能是异面. 故 A 错误.

2. 选项 B 判定 根据空间几何性质，垂直于同一条直线 $m$ 的两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 应该是相互平行的，即 $\alpha //\beta$.故 B 错误.

3. 选项 C 判定 由 $m//\alpha$ 可知，根据线面平行的性质，在平面 $\alpha$ 内一定存在一条直线 $l$，使得 $l//m$. 已知 $m\perp \beta$，根据平行线的传递性，若 $l//m$ 且 $m\perp \beta$，则 $l\perp \beta$. 由于直线 $l$ 位于平面 $\alpha$ 内（$l\subset \alpha$）且垂直于平面 $\beta$（$l\perp \beta$），根据面面垂直的判定定理，可得 $\alpha \perp \beta$. 故 C 正确.

4. 选项 D 判定 若 $m\subset \alpha$ 且 $\alpha \perp \beta$，只有当直线 $m$ 垂直于 $\alpha$ 与 $\beta$ 的交线时，$m$ 才垂直于 $\beta$. 否则，直线 $m$ 可能与 $\beta$ 平行，也可能与 $\beta$ 相交但不垂直. 故 D 错误.

综上，故选：C

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： 核心判定定理总结：

• 面面垂直判定：线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直。即“面内有一线垂直于另一面，则两面垂直”.

• 垂直关系的传递：垂直于同一直线的两平面平行；垂直于同一平面的两直线平行.

2. 方法总结：

• 空间模型辅助：空间想象遇到阻碍时，可以利用教室的墙角（三个平面两两垂直）或课本作为模型进行模拟.

3. 避坑指南：“异面”干扰：在判定线线关系时，千万不要忘记异面直线的情况，这是 A 选项这类错误命题最常用的设置点.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 若 $m\perp \alpha$，$n\perp \beta$，且 $m\perp n$，则 $\alpha \perp \beta$.

2. 方法的推广:

向量法：将直线方向向量设为 $\vec{u}$，平面法向量设为 $\vec{n}$。$m//\alpha ⟺\vec{u}\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=0$；$m\perp \beta ⟺\vec{u}//{\vec{n}}_{\beta }$。由此推导出 ${\vec{n}}_{\alpha }\cdot {\vec{n}}_{\beta }=0$，即 $\alpha \perp \beta$.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系 类题演练 (Links)
• 专题合集 (Series)

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