12 填-直线与圆相交弦长

本题导读

本题考查直线与圆相交所得弦长的计算及其应用.核心逻辑是通过直线截距求出参考长度，再利用圆的几何性质（垂径定理）建立半径、弦心距与弦长之间的数量关系.

📌 【题干】

Question

直线 $l_1:x-y+6=0$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，与圆 $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=r^2$ 交于 $C$，$D$ 两点。若 $|AB|=3|CD|$，则 $r=$ ______ .

🔍 【思路分析】

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1. 求出基础长度 $|AB|$：通过令 $x=0$ 和 $y=0$ 求出直线在坐标轴上的截距点 $A,B$，进而利用两点间距离公式求得 $|AB|$.
2. 确定弦长 $|CD|$：根据已知比例关系 $|AB|=3|CD|$，求出圆的弦长 $|CD|$.
3. 建立几何关系求解 $r$：

• 几何法（推荐）：利用圆心到直线的距离 $d$（弦心距），结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理 $r^2=d^2+(\frac{|CD|}{2}{)}^2$ 求解.
• 代数法：联立直线与圆的方程，利用韦达定理结合弦长公式 $|CD|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 求解.

✅ 【答案】

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✍ 【详细解析】

Abstract

几何法（弦心距法） 1. 计算 $|AB|$ 的长度：

• 令 $y=0$，得 $x+6=0\Rightarrow A(-6,0)$；
• 令 $x=0$，得 $-y+6=0\Rightarrow B(0,6)$.
• 则 $|AB|=\sqrt{(-6-0{)}^2+(0-6{)}^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$.

2. 确定弦长 $|CD|$：

• 由 $|AB|=3|CD|$ 得：$|CD|=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

3. 计算弦心距 $d$：

• 圆 $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=r^2$ 的圆心为 $M(-1,3)$.
• 圆心 $M$ 到直线 $x-y+6=0$ 的距离：
• $d=\frac{|-1-3+6|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

4. 利用勾股定理求 $r$：

• 在由圆心、弦的中点、圆上一点（如 $C$）构成的直角三角形中： $r^2=d^2+{\left(\frac{|CD|}{2}\right)}^2$ $r^2=(\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2+2=4$.
• 解得 $r=2$（半径取正值） 故填：$r=2$

其他精彩解法

其他精彩解法：

代数法（韦达定理）

1. 同样求得 $|CD|=2\sqrt{2}$，直线斜率 $k=1$. 联立方程： $\{\begin{array}{l}y=x+6\\ (x+1{)}^2+(y-3{)}^2=r^2\end{array}$ 代入消 $y$：$(x+1{)}^2+(x+3{)}^2=r^2\Rightarrow 2x^2+8x+10-r^2=0$.

2. 设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=-4,x_1{x}_2=\frac{10-r^2}{2}$.

3. $|CD|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{2}\sqrt{16-2(10-r^2)}=2\sqrt{2}$.

4. 化简得 $\sqrt{16-20+2r^2}=2\Rightarrow 2r^2-4=4\Rightarrow r^2=4\Rightarrow r=2$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -点到直线的距离公式：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

2. 方法总结：

• 几何优先原则：在处理直线与圆的弦长、切线等问题时，几何法（弦心距 $d$、半径 $r$、半弦长 $\frac{l}{2}$ 构成的直角三角形）通常比代数法联立方程组计算量更小，更不容易出错.

• 特殊斜率的处理：当直线斜率为 $\pm 1$ 时，其与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，截距点间的距离可以直接口算得出.

3. 避坑指南： 计算半径 $r$ 时，务必记得勾股定理中使用的是半弦长，即 $\frac{|CD|}{2}$.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若直线过圆心，则弦长 $|CD|$ 取得最大值 $2r$.

• 若弦长固定，当直线与圆心的距离 $d$ 越小时，半径 $r$ 也越小.

2. 方法的推广:

• 向量法：利用圆心向量与弦向量的垂直关系求解。

🔗 【关联脉络】

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• 17.05 直线与圆的位置关系]

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