04 单-正切函数性质

本题导读

本题考查正切型函数的对称性，核心在于掌握正切函数 $y=\tan x$ 的对称中心坐标公式并灵活运用.

📌 【题干】

Question

已知点 $(a,0)(a>0)$ 是函数 $y=2\tan (x-\frac{\pi }{3})$ 的图象的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为()

A. $\frac{\pi }{6}$	B. $\frac{\pi }{3}$	C. $\frac{\pi }{2}$	D. $\frac{4\pi }{3}$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 回顾基本性质：正切函数 $y=\tan x$ 的对称中心为 $(\frac{k\pi }{2},0),k\in \mathbb{Z}$.
2. 建立等式：将函数内部整体 $x-\frac{\pi }{3}$ 视为一个整体，令其等于基本对称中心的横坐标 $\frac{k\pi }{2}$.
3. 求解变量：解出 $x$ 的表达式（即 $a$），根据 $a>0$ 确定 $k$ 的取值，从而求得 $a$ 的最小值.

✅ 【答案】

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B

✍ 【详细解析】

Abstract

公式法（推荐）

函数 $y=\tan x$ 的对称中心横坐标为 $\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ 令 $a-\frac{\pi }{3}=\frac{k\pi }{2}$，

解得 $a=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$. 因为 $a>0$：

故 $a$ 的最小值为 $\frac{\pi }{3}$.

故选：B.

其他精彩解法一：图象平移法

函数 $y=2\tan x$ 的一个对称中心是 $(0,0)$. 函数 $y=2\tan (x-\frac{\pi }{3})$ 是由 $y=2\tan x$ 向右平移 $\frac{\pi }{3}$得到的. 对应的对称中心也随之向右平移 $60^{\circ }$，由 $(0,0)$ 变为 $(60^{\circ },0)$. 由于要求 $a>0$ 的最小值，直接观察可知即为 $60^{\circ }$.

其他精彩解法二：代入检验法

思路：利用选择题特性，依次代入选项进行验证（排除法）. 验证 A：当 $a=\frac{\pi }{4}$ 时，$y=2\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3})\ne 0$，不满足. 验证 B：当 $a=\frac{\pi }{3}$ 时，$y=2\tan (\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3})=2\tan 0=0$，满足对称中心定义. 结论：从小到大排列，B 是第一个满足条件的最小值.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切型函数 $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的性质（对称性、周期性、单调性）.

2. 核心方法：整体代换法。将复杂的函数自变量部分整体看作一个变量，直接套用基本三角函数的公式，是解决三角函数图像性质问题（求对称轴、对称中心、单调区间）的通用方法.

3. 避坑指南：

• 易错点 1（公式记混）：误将正切函数的对称中心记为 $(k\pi ,0)$ 或与正弦函数的对称中心 $\left(k\pi ,0\right)$、对称轴混淆。必须牢记正切函数的对称中心是零点及渐近线的交点（虽然渐近线处无定义，但考虑图象的对称趋势，其对称中心相隔半个周期，故横坐标为 $\frac{k\pi }{2}$）.
• 易错点 2（忽视范围限制）：在确定 $k$ 的取值时，必须紧扣 $a>0$ 这一硬性条件，若误认为 $k$ 只能取正整数而代入 $k=1$，则会得出错选项 C.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第一册（或必修第一册）中《正切函数的诱导公式与图像性质》的经典课后习题. 在新高考中属于中规中矩的三角性质考查题.

2. 结论推广（正切型函数的对称性规律）： 对于正切型函数 $y=A\tan (\omega x+\phi )+B$，其对称中心的形式为： $\left(\frac{k\pi -2\phi }{2\omega },B\right),k\in \mathbf{Z}$ 利用此推广结论，当 $A=2,B=0,\omega =1,\phi =-\frac{\pi }{3}$ 时，直接代入可得其对称中心横坐标为 $\frac{k\pi -2(-\frac{\pi }{3})}{2\cdot 1}=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$.

3. 方法推广：三角函数的图像变换与性质密不可分。这类题目除了公式法外，还可以借助数形结合法进行直观验证。将 $y=\tan x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位即可得到本题函数（振幅拉伸不影响横坐标位置）。原图象离原点最近的右侧对称中心本在 $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$，原点 $(0,0)$ 平移后变为 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$。因为 $\frac{\pi }{3}>0$，所以它就是平移后距离原点最近的正横坐标对称中心.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 : -07.03 三角函数的图象与性质

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