08 单-指对数

本题导读

本题是单选题的压轴题，考查多个对数等式下变量大小关系的判定.由于题目要求判断“不可能”的关系，采用特殊值法快速排除是最高效的策略，同时也考查了对数增长速度的直观理解.

📌 【题干】

Question

已知 $2+{\log }_{2}x=3+{\log }_{3}y=5+{\log }_{5}z$，则 $x,y,z$ 的大小关系不可能是>()

A. $x>y>z$	B. $x>z>y$	C. $y>x>z$	D. $y>z>x$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 统一结构：设共同值为 $m$，将 $x,y,z$ 分别表示为关于 $m$ 的指数式.

• $x=2^{m-2}$
• $y=3^{m-3}$
• $z=5^{m-5}$

2. 特殊值验证：通过选取不同的 $m$ 值，观察 $x,y,z$ 的相对大小关系.
3. 选取使其中一个变量为 $1$ 的 $m$ 值，可以极大地简化计算.
4. 排除法：题目问的是“不可能”，只要某种关系在某个 $m$ 下存在，即可排除该选项.

✅ 【答案】

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B

✍ 【详细解析】

Abstract

特殊值法（赋值排除）

思路：通过选取特殊的等式常数，验证各选项的可能性。

1. 令等式结果为 2： 则 $2+{\log }_{2}x=2⟹x=1$； $3+{\log }_{3}y=2⟹y=3^{-1}=\frac{1}{3}$； $5+{\log }_{5}z=2⟹z=5^{-3}=\frac{1}{125}$. 此时 $x>y>z$，故 A 可能正确.
2. 令 $z=1$： 则等式结果为 $5+0=5$。 $2+{\log }_{2}x=5⟹x=2^3=8$； $3+{\log }_{3}y=5⟹y=3^2=9$. 此时 $y>x>z$，故 C 可能正确.
3. 令 $z=125$： 则等式结果为 $5+3=8$。 $2+{\log }_{2}x=8⟹x=2^6=64$； $3+{\log }_{3}y=8⟹y=3^5=243$. 此时 $y>z>x$，故 D 可能正确. 结论：综上，选 B .

其他精彩解法一：数形结合法（指数函数模型）

思路：令 $2+{\log }_{2}x=3+{\log }_{3}y=5+{\log }_{5}z=m$.

1. 转化函数：$x=2^{m-2}$，$y=3^{m-3}$，$z=5^{m-5}$.
2. 图像分析：在同一坐标系下作出函数 $f(m)=2^{m-2},g(m)=3^{m-3},h(m)=5^{m-5}$ 的图象.
3. 观察交点：随着 $m$ 的变化，纵坐标 $x,y,z$ 的相对大小随之改变。通过图象分析可知，$x>z>y$ 这一顺序在任何 $m$ 取值下均无法形成.

其他精彩解法二：线性化再数形结合

思路：利用换底公式将问题转化为一次函数模型.

1. 线性化处理：$-1+\frac{\ln x}{\ln 2}=\frac{\ln y}{\ln 3}=2+\frac{\ln z}{\ln 5}=t$.
2. 构造直线：考虑三个一次函数 $y=-1+\frac{t}{\ln 2}$，$y=\frac{t}{\ln 3}$，$y=2+\frac{t}{\ln 5}$.
3. 斜率比较：由于 $\frac{1}{\ln 2}>\frac{1}{\ln 3}>\frac{1}{\ln 5}$，在同一坐标系下作草图即可锁定排除项.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数与对数函数的图象交点变换、多变量不等式的区间判定.
2. 核心方法：特殊值排除法。面对选择题的压轴题，尤其是问“不可能/可能”的逻辑选择题，严谨的图像交点估算（解法二）在考场有限的时间内极易算错或思维卡壳。而通过直接给连等式赋值（如令 $k=5,6,10$）得到具体数字，能以极高的确定性快速排除干扰项.
3. 避坑指南：有些同学在做此题时，习惯于只盯着局部的某一两个点（比如只试了 $k=5$ 发现 $y>x>z$ 选了C），却没有看清题目问的是“不可能是”这一否定命题。做压轴客观题时，务必把题目字眼圈阅清楚.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由经典的多变量指对数比较大小题型（如著名的 $a^b=b^a$ 变体或 $a={\log }_{2}3,b={\log }_{3}5$ 等三元比较题）升级而来的动态区间选择题。在往年的八省联考、全国甲卷压轴题中，这类通过连等式构造指数函数、考查交点分布的题目属于选拔拔高梯队的核心常客.

2. 结论推广（底数与增长速度的普适规律）： 对于形如 $a+{\log }_{a}x=b+{\log }_{b}y=c+{\log }_{c}z(1<a<b<c)$ 的连等式，将其转化为指数函数形式后：

• 在 $k\to -\infty$ 的极左侧，大小关系必然由底数最小的决定，顺序固定为： $x>y>z$.
• 在 $k\to +\infty$ 的极右侧，大小关系必然由底数最大的指数爆炸决定，顺序固定为： $z>y>x$/ 抓住了极左和极右的边界，四选一的范围就能瞬间缩小.

3.方法推广：在今后面对填空题压轴题中若出现类似的指对数混合比较，若无法直接赋值，还可以借助泰勒放缩或中间量媒介法（通常以 $0,1,e$ 等关键常数作为分水岭）进行拦截式比较，这也是攻克此类高难度函数的终极利器.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 ：

-04.01 指数与对数运算

-06.01 幂指对函数图象与性质

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