13 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列基本量的计算。利用等比数列“分段和仍成等比数列”的性质可跳过复杂的公式联立，是解决此类求和比例问题的经典捷径

📌 【题干】

Question

若一个等比数列的各项均为正数，且前 4 项的和等于 4，前 8 项的和等于 68，则这个数列的公比等于 ______ .

🔍 【思路分析】

Tip

1. 性质挖掘：在等比数列中，连续相邻且项数相等的片段和（如 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}\dots$）仍构成等比数列，其公比为 $q^n$.
2. 建立模型：本题中 $n=4$，则 $S_4$ 与 $S_8-S_4$ 构成等比关系.
3. 列式计算：由 $\frac{S_8-S_4}{S_4}=q^4$ 建立方程.
4. 细节处理：利用“正项数列”这一条件，确定公比 $q$ 的符号.

✅ 【答案】

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2

✍ 【详细解析】

Abstract

利用分段和性质（推荐）**

1. 设等比数列为 $\{a_n\}$，其公比为 $q$.
2. 由等比数列性质知：$S_4,S_8-S_4,S_{12}-S_8$ 成等比数列，且公比为 $q^4$.
3. 已知 $S_4=4$，$S_8=68$.
4. 计算第二段和：$S_8-S_4=68-4=64$.
5. 建立等比关系： $q^4=\frac{S_8-S_4}{S_4}=\frac{64}{4}=16$
6. 解得 $q^2=4$ 或 $q^2=-4$（舍去）
7. 因为数列为正项数列，故 $q>0$.
8. 所以 $q=\sqrt{4}=2$.

其他精彩解法： 基本量方程组法

1. 设首项为 $a_1$，公比为 $q$。若 $q=1$，则 $S_8=2S_4=8\ne 68$，故 $q\ne 1$.
2. 根据公式列方程组： $\{\begin{array}{ll}\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=4& \dots \text{①}\\ \frac{a_1(1-q^8)}{1-q}=68& \dots \text{②}\end{array}$
3. ② $÷$ ① 得： $\frac{1-q^8}{1-q^4}=\frac{68}{4}=17$
4. 利用平方差公式化简：$\frac{(1-q^4)(1+q^4)}{1-q^4}=17⟹1+q^4=17$.
5. 解得 $q^4=16$，结合 $q>0$ 得 $q=2$.
6. 故答案为：2.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列的通项与求和计算、等比数列的特殊结构性质（分段和性质）.

2. 核心方法：分段求和性质法。在处理等比/等差数列中涉及 $S_n,S_{2n},S_{3n}$ 这种下标成倍数递增的求和比例问题时，利用“分段和仍成等比/等差”的性质，可以完美避开首项 $a_1$ 和繁琐的分式分母化简，直接将多项式方程降维为一元高次方程，极大地节省了考场的运算时间.

3. 避坑指南：

• 易错点 1（分段和作差时粗心）：在使用性质法时，第二项是 $S_8-S_4$（即 64），部分同学容易由于思维惯性直接拿 $S_8$（即 68）去除以 $S_4$（即 4），误列出 $q^4=\frac{68}{4}=17$，导致后续无法开方.
• 易错点 2（忽视正数约束）：代数求解 $q^4=16$ 在复数或实数域本来有 $\pm 2$ 和 $\pm 2\text{i}$ 等多个解。由于题目明确限定“各项均为正数”，必须严格过滤掉负根与虚根，锁定 $q=2$.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第二册第四章《数列》中等比数列前 $n$ 项和的经典课后探究题。这一模型在历年全国卷及各省模拟卷的客观题（选择题、填空题）中高频出现，属于数列板块闭着眼睛都要拿下的常规分.

2. 结论推广（分段和性质网络）：

• 等差数列： $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\dots$ 仍成等差数列，公差为 $n^{2}d$.

• 等比数列： $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\dots$ 仍成等比数列（当 $S_n\ne 0$ 且 $q\ne -1$ 等特殊情况时），公比为 $q^n$.

3. 方法推广：若本题题干延伸为解答题的大题第一问，通常更推荐使用基本量公式法写出完整的列式与联立消元步骤，以确保步骤分滴水不漏。而在填空题这种“只看结果，不看过程”的题型中，毫无疑问应当首选性质法进行降维打击，腾出宝贵的时间去攻克后面的压轴大题.

🔗 【关联脉络】

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