15 解-独立性检验

本题导读

本题是概率统计大题，考查独立性检验的标准流程及样本估计总体的基础应用，核心在于准确提取列联表数据并规范书写统计推断结论.

📌 【题干】

Question

为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 $1000$ 人，得到如下列联表：

	超声波检查正常组	超声波检查不正常组	合计
患该疾病	$20$	$180$	$200$
未患该疾病	$780$	$20$	$800$
合计	$800$	$200$	$1000$

（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 $p$，求 $p$ 的估计值；

（2）根据小概率值 $\alpha =0.001$ 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

附：${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P({\chi }^2\ge k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问：关注“超声波检查不正常”这一特定子样本。从表中找到该组的总人数（分母）及其中患病的人数（分子），利用样本频率作为概率 $p$ 的估计值.
2. 第二问：严格执行独立性检验步骤。设零假设 $H_0$ $\to$ 代入 ${\chi }^2$ 公式计算观测值 $\to$ 与临界值 $10.828$ 比较大小 $\to$ 下结论。计算时注意提取公因数简化运算.

✅ 【答案】

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(1) $\hat{p}=0.9$ (2) 证明见解析

✍ 【详细解析】

（1）第一问解法

最优解法：

（1）由列联表可知，超声波检查结果“不正常”的人数合计为 $200$ 人，其中患该疾病的人数为 $180$ 人. 故超声波检查结果不正常者患该疾病的频率为 $\frac{180}{200}=0.9$. 由样本估计总体，可得 $p$ 的估计值 $\hat{p}=0.9$.

(2) 第二问解法

最优解法

（2）零假设 $H_0$：超声波检查结果与患该疾病无关. 根据列联表数据，代入 ${\chi }^2$ 公式计算：

${\chi }^2=\frac{1000\times (20\times 20-180\times 780{)}^2}{200\times 800\times 800\times 200}$

${\chi }^2=\frac{1000\times (400-140400{)}^2}{200^2\times 800^2}=\frac{1000\times (-140000{)}^2}{40000\times 640000}$

${\chi }^2=\frac{1000\times 140000\times 140000}{40000\times 640000}=\frac{10\times 14\times 14}{4\times 0.64}$ 化简计算得:

${\chi }^2=\frac{1960}{2.56}=765.625$

因为 $765.625>10.828$，

所以根据小概率值 $\alpha =0.001$ 的独立性检验，我们推断 $H_0$ 不成立. 即认为超声波检查结果与患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过 $0.001$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的概率估算、独立性检验卡方公式的规范代入、根据小概率值做出统计推断.

2. 核心方法：两联表卡方检验标准流程法。高考解答题对 于独立性检验的阅卷，极其看重步骤的“形式完整性”。有很多同 学直接在草稿纸上算出一个卡方值，然后在卷面上只写一句“因为 ${\chi }^2$ 很大所以有关”，这样会被严重扣除步骤分。 务必养成**1. 提出零假设 $\to$ 2. 列公式计算 $\to$ 3. 与临界 值比对大小 $\to$ 4. 给出最终结论”**的闭环书写习惯。

3. 避坑指南：

• 易错点 1（第一问分母选错）：有些同学在求第一问时，误把全人群 $1000$ 当成了分母，算成了 $\frac{180}{1000}=0.18$。必须注意题目里的条件状语——“超声波检查结果不正常者中”，这是条件概率模型，分母必须是该子人群的总数 $200$。
• 易错点 2（卡方大数计算卡壳）：卡方公式的分子分母数据动辄几十万。在考场上千万不要盲目去算 $140000^2$ 的具体数值。推荐利用科学计数法或者直接将分母的乘积和分子的因式进行提取公因数交叉约分，可以大幅提高计算的准确率.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题完美契合了人教 A 版选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》中独立性检验的典型例题。作为新高考解答题的第一题（或第二题），其概率统计的难度逐年趋于稳定，属于只要步骤规范、计算细心就绝对能拿满 13 分的“保底题”.

2. 结论推广（独立性检验中各字母的快速约分技巧）： 在 $2\times 2$ 列联表中，如果我们对每一行或每一列的数据 进行等比例的扩大或缩小，最终算出来的 ${\chi }^2$ 值也会等比 例变化。如果遇到了类似本题这种末尾带有大量“0”的规整数据, 你可以在草稿纸上先把所有数据同除以 10（即令列联表变 为 2, 18, 78, 2 且 $n=100$），算出的卡方值与原式**完全相同 **，这能极大地优化你的考场运算体验.

3. 方法推广：如果在未来的模拟题或高考压轴大题中，概率统计题与函数导数或数列递推结合（例如：预测某种疾病随时间推移的患病率趋势模型 $p_n$），其第一问的处理依然是本题的延伸。牢记：用频率估计概率是连接“现实收集到的离散离多样样本”与“理想连续总体分布数学模型”之间最基本的纽带.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 : 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

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