04 单-分式不等式

本题导读

本题考查分式不等式的解法。核心在于通过移项、通分将右侧化为 0，再利用“除法转乘法”的等价转化思想求解整式不等式，并严格注意分母不为零的限制条件.

📌 【题干】

Question

不等式 $\frac{x-4}{x-1}⩾2$ 的解集是 （）

A.	B.	C.	D.
$\{x\mid -2⩽x⩽1\}$	$\{x\mid x⩽-2\}$	$\{x\mid -2⩽x<1\}$	$\{x\mid x>1\}$

🔍 【思路分析】

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1. 移项通分：绝对禁止直接交叉相乘（因为 $x-1$ 正负未知）.

2. 应先将右侧的 $2$ 移至左侧，使右侧为 $0$.

3. 符号简化：通过通分化简分子，确保分式结构清晰。若最高次项系数为负，建议两边同乘 $-1$ 变号.

4. 等价转化：利用 $\frac{f(x)}{g(x)}⩾0⟺f(x)g(x)⩾0$ 且 $g(x)\ne 0$ 进行转化.

5. 确定区间：求解一元二次不等式，并剔除分母零点.

✅ 【答案】

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C

✍ 【详细解析】

Abstract

第一步：移项与通分 由 $\frac{x-4}{x-1}⩾2$，移项得： $\frac{x-4}{x-1}-2⩾0$ 通分处理： $\frac{x-4-2(x-1)}{x-1}⩾0⟹\frac{x-4-2x+2}{x-1}⩾0$ 化简分子得： $\frac{-x-2}{x-1}⩾0$ 第二步：不等式变号 分子系数化为正，两边同乘以 $-1$（注意不等号方向改变）： $\frac{x+2}{x-1}⩽0$ 第三步：等价转化为整式不等式 上述分式不等式等价于： $\{\begin{array}{l}(x+2)(x-1)⩽0\\ x-1\ne 0\end{array}$ 由 $(x+2)(x-1)⩽0$ 解得 $-2⩽x⩽1$. 结合分母限制条件 $x\ne 1$，最终解集为： $-2⩽x<1$ 故选：C.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的解法步骤、数式变形中的不等号方向掌控、分母无意义点的拦截.

2. 核心方法：移项通分与去分母等价转化法。分式不等式的标准代数操作链条是：移项 $\to$ 通分 $\to$ 分子分母整体化 $\to$ 符号重组转乘法 $\to$ 剔除分母零点.

3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（直接去分母导致直接翻车）：本题最经典的错误是直接两边同乘以 $(x-1)$ 得到 $x-4\ge 2(x-1)⟹x-4\ge 2x-2⟹x\le -2$，从而误选 B。这种做法完全忽视了 $(x-1)$ 的正负性，在未知数范围不明时，直接去分母属于性质极为恶劣的原则性错误.
• 避坑指南 2（端点开闭误判）：部分同学虽然采用了标准的通分法，但在最后一步时，由于原题带有 $\ge$ 号，便顺手将解集写成了 $[-2,1]$（错选 A）。务必时刻保持警惕：无论原不等式是否带有等号，分母所对应的根在最终解集中必须写成开区间.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》中关于“简单的分式不等式解法”的课后配套基础练习。这是新高考为了考查学生高一衔接期“运算严密性”而设计的传统拿分题.

2. 结论推广（数形结合视角下的有理分式函数）： 从函数与图像的视角来看，不等式 $\frac{x-4}{x-1}\ge 2$ 寻找的是有理分式函数（双曲线型） $f(x)=\frac{x-4}{x-1}=1-\frac{3}{x-1}$ 的图象，位于水平常数直线 $y=2$ 上方或相交时的自变量 $x$ 的区域.

• 函数 $f(x)$ 拥有一条垂直渐近线 $x=1$，在这条线处函数无定义，图象处于断裂状态，这也从几何层面上解释了为什么 $x=1$ 这个边界点绝对不可能被取到.

• 令 $1-\frac{3}{x-1}=2⟹\frac{3}{x-1}=-1⟹x-1=-3⟹x=-2$。由此通过图象的连续性，可知在其左侧夹逼区间 $[-2,1)$ 内图象高于直线，数形结合能让你在宏观上对解集的开闭有更深刻的降维理解.

3. 方法推广（高阶分式与“穿根法”的联动）： 当未来遇到结构更为复杂的复合分式不等式（如 $\frac{(x-1)(x-3{)}^2}{(x+2)(x-4)}\ge 0$），其核心的处理思想与本题完全一致——依然是将其整体转化为整式乘积形式： $(x-1)(x-3{)}^2(x+2)(x-4)\ge 0(\text{且限制分母 }x\ne -2,x\ne 4)$ 此时可直接借助**“数轴穿根法”**（奇穿偶回，从右上角起笔）进行区间锁定。将分母的零点在数轴上画成“空心圈”，分子的零点画成“实心点”，这种视觉化的隔离手段是攻克高难度不等式网络的核心高阶通法.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

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