07 单-等差前n项和

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和公式的应用。通过已知两组求和结果建立关于首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的二元一次方程组，解出基本量后计算目标和 $S_6$.

📌 【题干】

Question

记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_3=6$，$S_5=-5$，则 $S_6=()$

A. $-20$	B. $-15$	C. $-10$	D. $-5$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 建立方程组：利用等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，将 $S_3$ 和 $S_5$ 的已知值代入，建立关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组.
2. 求解基本量：解方程组求出首项 $a_1$ 和公差 $d$.
3. 计算目标值：将求得的 $a_1$ 和 $d$ 代入 $S_6$ 的公式中计算结果.
4. 快捷路径（可选）：利用等差数列性质，如 $a_n$ 是关于 $n$ 的一次函数，则 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（常数项为0），设 $S_n=A{n}^2+Bn$.

✅ 【答案】

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B

✍ 【详细解析】

Abstract

基本量法 设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$. 根据 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$：

由 $S_3=6$ 得： $3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=6⟹3a_1+3d=6⟹a_1+d=2①$ 由 $S_5=-5$ 得：

$5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=-5⟹5a_1+10d=-5⟹a_1+2d=-1②$ 联立 ①、②： ② - ① 得：$d=-3$. 将 $d=-3$ 代入 ① 得：$a_1-3=2⟹a_1=5$.

计算 $S_6$：

$S_6=6a_1+\frac{6\times 5}{2}d=6(5)+15(-3)=30-45=-15$. 故选：B.

其他精彩解法：

性质法 设 $S_n=A{n}^2+Bn$. 代入已知条件： $\{\begin{array}{l}9A+3B=6\\ 25A+5B=-5\end{array}⟹\{\begin{array}{l}3A+B=2\\ 5A+B=-1\end{array}$

解得 $2A=-3⟹A=-\frac{3}{2}$，则 $B=2-3(-\frac{3}{2})=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$.

所以 $S_n=-\frac{3}{2}{n}^2+\frac{13}{2}n$.

当 $n=6$ 时，$S_6=-\frac{3}{2}(36)+\frac{13}{2}(6)=-54+39=-15$ 故选：B.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和公式的代数化简、二元一次方程组的规范消元.
2. 核心方法：基本量思想（方程化通法）。无论数列的题型如何变幻，利用首项 $a_1$ 和公差 $d$（等比数列为 $a_1$ 和 $q$）把所有高级项和求和项全部拆解为初级代数块，是攻克数列客观题的绝对万能通法.
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（求和公式中项数乘错）：在展开 $S_5$ 时，公式后半部分是 $\frac{5\times 4}{2}d=10d$，部分同学容易由于口算疲劳误算为 $\frac{5\times 6}{2}d=15d$。公式的系数 $n(n-1)$ 务必看清.
• 避坑指南 2（负号运算连环翻车）：本题中公比及求和结果伴随着大量的负数（ $d=-3,S_5=-5$ ），在加减移项时要格外细心，避免因符号错误导致解出的 $a_1$ 发生漂移.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第二册第四章《数列》中“等差数列的前 $n$ 项和”课后基础练习题。属于高考为了检测广大考生对数列最核心公式掌握熟练度而保留的传统必拿分题.
2. 结论推广（等差数列前 $n$ 项和的“二次函数”模型）： 从高阶代数视角来看，等差数列前 $n$ 项和公式可以重组为关于 项数 $n$ 的二次函数形式（当 $d\ne 0$ 时）： $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$ 这是一个常数项为 0 的特殊二次函数。利用该性质，我们可以发展出解法二（图像性质法）：

• 设 $S_n=A{n}^2+Bn$。将已知数据代入： $\{\begin{array}{l}{S}_3=9A+3B=6⟹3A+B=2\\ S_5=25A+5B=-5⟹5A+B=-1\end{array}$
• 两式相减： $2A=-3⟹A=-\frac{3}{2}$，从而可算出 $B=2-3(-\frac{3}{2})=\frac{13}{2}$.
• 由此可直接写出前 $n$ 项和的函数通项： $S_n=-\frac{3}{2}{n}^2+\frac{13}{2}n$.
• 直接代入 $n=6$： $S_6=-\frac{3}{2}\times 36+\frac{13}{2}\times 6=-54+39=-15$。将数列问题完全等价映射为函数图像，能让你在宏观上对等差求和有更深的降维理解.

3. 方法推广（分段和性质的横向对比拓展）： 在复习等差数列前 $n$ 项和时，建议在文献库中将其与等比数列的**“分段和性质”**做成联动网络.

• 牢记二级重要结论：等差数列中，相同项数的分段和序列 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\dots$ 仍然构成等差数列，且新数列的公差为 $n^{2}d$.
• 掌握了这套分段和的对称网，在面对后续如 “已知 $S_{10},S_{20}$ 求 $S_{30}$” 这种下标成倍数翻番的高频模拟卷大题时，即可无需建系列方程，直接利用分段和等差的性质实现 3 秒心算免笔秒杀.

🔗 【关联脉络】

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• 19.01 等差数列全总结

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