09 多-等比数列

本题导读

描述: 本题考查等比数列的基本运算。核心意图是利用 $S_3$ 和 $a_3$ 建立关于首项 $a_1$ 和公比 $q$ 的方程组，确定基本量后对四个选项进行逐一比对分析.

📌 【题干】

Question

记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$q$ 为 $\{a_n\}$ 的公比，$q>0$。若 $S_3=7$，$a_3=1$，则（ ）

A. $q=\frac{1}{2}$	B. $a_5=\frac{1}{9}$	C. $S_5=8$	D. $a_n+S_n=8$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 建立方程组：根据等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 和前 $n$ 项和公式 $S_n$.

已知 $a_3=a_1{q}^2=1$，$S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=7$.

2. 求解基本量：将 $a_1=\frac{1}{q^2}$ 代入 $S_3$ 的表达式中，解关于 $q$ 的方程。注意 $q>0$.
3. 验证选项：

• 求出 $q$ 和 $a_1$.
• 计算 $a_5$.
• 计算 $S_5$.
• 考察 $a_n+S_n$ 是否为定值.

✅ 【答案】

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✍ 【详细解析】

Abstract

1.第一步：解基本量 $a_1$ 和 $q$ 由 $a_3=1$ 得：$a_1{q}^2=1⟹a_1=\frac{1}{q^2}$.

代入 $S_3=a_1+a_2+a_3=7$ 得：

$\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+1=7$

$\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}-6=0$

令 $u=\frac{1}{q}$，则 $u^2+u-6=0$.

因式分解：$(u+3)(u-2)=0$.

解得 $u=2$ 或 $u=-3$. 因为 $q>0$，所以 $u=2⟹\frac{1}{q}=2⟹q=\frac{1}{2}$. 代入 $a_1=\frac{1}{q^2}$ 得 $a_1=\frac{1}{(1/2{)}^2}=4$.

第二步：逐项验证选项

A 选项：由上述计算知 $q=\frac{1}{2}$.正确.

B 选项：$a_5=a_1{q}^4=4\times (\frac{1}{2}{)}^4=4\times \frac{1}{16}=\frac{1}{4}$.错误（选项为 $1/9$）. C 选项：$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{4(1-\frac{1}{32})}{1-\frac{1}{2}}=\frac{4\times \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}=8\times \frac{31}{32}=\frac{31}{4}=7.75$.错误（选项为 $8$）.

D 选项：取 $n=1$，$a_1+S_1=4+4=8$；取 $n=2$，$a_2+S_2=a_{1}q+(a_1+a_{1}q)=2+(4+2)=8$；取 $n=3$，$a_3+S_3=1+7=8$.

一般性证明：$a_n+S_n=a_1{q}^{n-1}+\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$. 代入 $a_1=4,q=1/2$： $a_n+S_n=4(\frac{1}{2}{)}^{n-1}+\frac{4(1-(\frac{1}{2}{)}^n)}{1/2}=4\cdot 2\cdot (\frac{1}{2}{)}^n+8(1-(\frac{1}{2}{)}^n)=8(\frac{1}{2}{)}^n+8-8(\frac{1}{2}{)}^n=8$.正确. 故选：AD

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项与前 $n$ 项和公式的交错联立、换元法求解分式方程、指数幂因式的精准抵消消元.
2. 核心方法：分式换元与步进求和法。在化简 $\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}-6=0$ 时，可以视 $\frac{1}{q}$ 为一个整体 $t$，方程化为 $t^2+t-6=0⟹(t+3)(t-2)=0$，解得 $\frac{1}{q}=2⟹q=\frac{1}{2}$。这种换元视角的引入能大幅减少去分母乘错项的概率。此外，计算 $S_5$ 时采用 $S_3+a_4+a_5$ 的“步进累加法”比直接套用 $S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}$ 的计算量更小，更不易出错.
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（多选题漏选 D 选项）：很多同学在做多选题时，算完 A 发现正确，推翻 B、C 后，由于看到 D 选项包含一个抽象的项数 $n$，直观上认为 $a_n+S_n$ 一定带有变量 $n$，不可能是一个固定常数 $8$，从而连算都不算就直接漏选 D。务必记住：多选题的每一个未知选项都必须经过严格的代数化简才能下结论，切忌凭直觉盲猜.
• 避坑指南 2（忽视公比正负的硬性拦截）：因式分解出 $q=-\frac{1}{3}$ 后，必须紧扣题干中的 $q>0$ 予以剔除。虽然本题中 $-\frac{1}{3}$ 未设置相关干扰项，但平时训练必须圈阅所有给定的范围参数.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性修第二册第四章《数列》中“等比数列的前 $n$ 项和”课后习题的变形综合。属于高考将传统的解答题中“求通项与求和”的第一问拆解并重组到多选题开篇处的经典题型.
2. 结论推广（等比数列中极其精美的“隐形常数”网络）： 从高阶代数结构来看， D 选项展现的 $a_n+S_n=8$ 并不是一个偶然的巧合，而是等比数列在特定公比下必然产生的一种代数调和状态.

• 我们将其推广到通用模型：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$（且 $q\ne 1$ ）.
• 写出通项与前 $n$ 项和的线性组合： $a_n+\lambda S_n=a_1{q}^{n-1}+\lambda \cdot \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=a_1{q}^{n-1}+\frac{\lambda a_1}{1-q}-\frac{\lambda a_1{q}^n}{1-q}$
• 若要让最终结果为一个与项数 $n$ 无关的固定常数，必须让所有包含变量 $n$ 的指数项全部抵消，即满足： $a_1{q}^{n-1}-\frac{\lambda a_1{q}^n}{1-q}=0⟹a_1{q}^{n-1}\left(1-\frac{\lambda q}{1-q}\right)=0$.
• 提取括号内消元方程： $1-\frac{\lambda q}{1-q}=0⟹1-q=\lambda q⟹\lambda =\frac{1-q}{q}=\frac{1}{q}-1$.
• 本题中，由于公比 $q=\frac{1}{2}$，代入该推广结论可得 $\lambda =\frac{1}{\frac{1}{2}}-1=2-1=1$。也就是说，当公比为 $\frac{1}{2}$ 时，系数 $\lambda$ 恰好等于 $1$，这就注定了 $a_n+1\cdot S_n$ 必然是个常数，且这个常数恒等于 $\frac{\lambda a_1}{1-q}=\frac{1\times 4}{1-\frac{1}{2}}=8$。在高级文献库中收录这一结构特征后，未来在模拟卷上只要看到公比为 $\frac{1}{2}$ 且 $a_1=4$ 的等比数列，看到 $a_n+S_n$ 选项可以直接断定其等于 8，达成“降维秒杀”.

3. 方法推广（多选题的逐项消元防御习惯）： 在面对涉及通项与复合求和的多选题时，建议建立“逐项消元，各个击破”的防御习惯。多选题往往通过前两个基础选项（如 A、B）引导考生解出核心大盘（基本量 $a_1,q$），后两个选项（如 C、D）则是基于基本量的定量演练或结构探究。保持清晰的步骤链条，是确保多选题不漏选、不惜错的刚性底层技术铠甲.

🔗 【关联脉络】

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