10 多-奇函数与极值

本题导读

本题以奇函数为载体，考查分段函数解析式的求法以及利用导数研究复杂函数的极值问题.要求学生熟练掌握奇函数关于原点对称的性质，并能准确进行含指数函数的导数运算.

📌 【题干】

Question

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=(x^2-3)e^x+2$，则 ()

A. $f(1)=0$	B. 当 $x<0$ 时，$f(x)=(x^2-3)e^{-x}-2$	C. $f(x)\ge 2$ 当且仅当 $x\ge \sqrt{3}$	D. $x=-1$ 是 $f(x)$ 的极大值点

🔍 【思路分析】

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1. 验证 A：直接将 $x=1$ 代入 $x>0$ 的解析式计算.
2. 验证 B：利用奇函数定义 $f(x)=-f(-x)$。设 $x<0$，则 $-x>0$，代入已知部分求出负半轴解析式.
3. 验证 C：根据奇偶性对称性分析全定义域上的函数值。注意奇函数 $f(0)=0$ 且负半轴可能存在大于 2 的区间.
4. 验证 D：对 $x>0$ 的部分求导寻找极值点，再利用奇函数关于原点对称的特性（极大值点对称后变为极小值点，极小值点对称后变为极大值点）进行判定.

✅ 【答案】

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ABD

✍ 【详细解析】

Abstract

验证 A 选项： 由奇函数的性质得：$f(0)=0$，**A正确;

验证 B 选项： 设 $x<0$，则 $-x>0$, 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(x)=-f(-x)$. $f(x)=-[((-x{)}^2-3)e^{-x}+2]=-(x^2-3)e^{-x}-2$.

验证 C 选项： 当 $x>0$ 时，$f(x)\ge 2⟺(x^2-3)e^x\ge 0⟺x\ge \sqrt{3}$. 但由于 $f(x)$ 是奇函数，$f(x)$ 在负半轴的取值范围由正半轴对称得到.

若正半轴 $x\in (0,\sqrt{3})$ 时 $f(x)<2$，则负半轴对应的 $x\in (-\sqrt{3},0)$ 时 $f(x)>-2$. 此选项“当且仅当”排除了负半轴满足条件的可能性，通常在复杂奇函数中不成立。故 C 错误.

验证 D 选项（核心极值分析）： 先看 $x>0$ 时的导数： $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+(x^2-3)e^x=(x^2+2x-3)e^x=(x+3)(x-1)e^x$.

令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x=1$（$x=-3$ 舍去）.

当 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；

当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增.

所以 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点. 根据奇函数的对称性：

奇函数图像关于原点中心对称。正半轴的极小值点 $(x_0,f(x_0))$ 对称到负半轴变为 $(-x_0,-f(x_0))$.

中心对称会将“谷底”（极小值）变为“山峰”（极大值）.

因为 $x=1$ 是正半轴的极小值点，所以 $x=-1$ 必然是 $f(x)$ 的极大值点.故 D 正确. 故选：ABD.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数原点零值定理、分段函数区间代换规则、含指数项的乘积求导、奇函数空间极值点属性的翻转对流律。
2. 核心方法：极值点对称倒置法（高阶图像直觉）。在多选题中，核对 D 选项时切忌盲目去对负半轴求出来的那个大分式解析式做二次求导。牢记硬核二级结论：“奇函数在对称区间上的单调性完全相同，但极值点属性（极大/极小）完全相反；偶函数在对称区间上的单调性完全相反，但极值点属性（极大/极小）完全相同”。掌握这一翻转网，可以直接跳过繁琐的代数式求导，达成瞬间秒判。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（全域意识丧失导致误选 C）：本题最强杀手锏是 C 选项。很多同学在正半轴算出了 $x\ge \sqrt{3}$ 发现与选项长得一模一样，便兴奋地直接勾选。必须深刻领悟“当且仅当”在数学大题中代表着全域唯一的充要性。做题时只要看到此词，脑海中必须立刻启动“全域拉网拦截”防御，警惕负半轴可能隐藏的“隐秘凸峰”（如本题 $f(-1)\approx 3.4>2$ ）.
• 避坑指南 2（B 选项整体变号遗漏尾项）：在由 $f(-x)$ 推导 $f(x)=-f(-x)$ 时，不仅多项式前面的括号要加负号，尾部独立的常数项 $+2$ 也必须无条件分配到负号变为 $-2$.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中利用导数研究函数极值和值域的综合压轴题。命题人通过引入指数函数 $e^x$ 的多级震荡，将高一的抽象奇偶性解析式与高二的导数单调性表格进行了高密度的跨章节缝合。
2. 结论推广（奇偶函数极值点分布的代数镜像网络）： 为了在你的文献库知识图谱中建立最高阶的直觉，我们可以将奇偶函数在全域内的单调性与极值属性总结为下表，作为考场复核的“定海神针”： | 函数类型 | 正半轴趋势 | 负半轴对称趋势 | 极值性质转化关系 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 奇函数 | 增（减） | 保持 增（减） | 极小点 $\to$ 极大点 / 极大点 $\to$ 极小点 | | 偶函数 | 增（减） | 翻转 减（增） | 极小点 $\to$ 极小点 / 极大点 $\to$ 极大点 |

利用该网络，本题正半轴在 $x=1$ 处由减变增（极小值），则负半轴必然在 $x=-1$ 处由增变减（极大值），表格化的规律能彻底根除由于考场紧张导致的逻辑混乱.

3. 方法推广（多变量复合函数的“趋势草图防御习惯”）： 在面对这种分段且带有跨象限变换的抽象函数多选题时，最稳妥的防线是在草稿纸上根据单调性零点快速勾勒出一幅**“全域函数趋势草图”**。 图形的视觉化呈现能够让隐藏在负半轴的那个冲破水平拦截线 $y=2$ 的“隐秘山峰”（ $x=-1$ 处）无处遁形。这种数形结合的全局洞察力，是确保多选题后半段达成“零失误、拿满分”的终极技术铠甲。

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

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