13 填-三次函数极值

本题导读

本题考查导数与极值的关系.核心考查意图是利用“可导函数在极值点处的导数为零”这一性质，通过对含参数的三次函数求导并代入已知极值点，解出参数 $a$ 的值，最后计算函数值.

📌 【题干】

Question

若 $x=2$ 是函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)$ 的极值点，则 $f(0)=$ ______ .

🔍 【思路分析】

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1.求导函数：将 $f(x)$ 展开或使用积的导数法则求出 $f^{\prime }(x)$.对于多项式乘积，展开成一般式再求导通常更不易出错.

2. 利用极值条件列方程：根据极值点的必要条件，若 $x=2$ 是极值点，则必有 $f^{\prime }(2)=0$.

3. 解方程求参数 $a$：代入 $x=2$ 到导函数表达式中，解出 $a$.

4. 计算目标值：将 $a$ 的值代入原函数解析式，计算 $f(0)$.

✅ 【答案】

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$-4$

✍ 【详细解析】

Abstract

1.第一步：对函数求导 方法一（展开法）： $f(x)=(x^2-3x+2)(x-a)=x^3-(a+3)x^2+(3a+2)x-2a$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2-2(a+3)x+(3a+2)$ 方法二（积的导数法则）： $f^{\prime }(x)=1\cdot (x-2)(x-a)+(x-1)\cdot 1\cdot (x-a)+(x-1)(x-2)\cdot 1$ 2. 第二步：利用 $f^{\prime }(2)=0$ 列方程 将 $x=2$ 代入 $f^{\prime }(x)$（使用方法二的表达式计算更简便）：

$f^{\prime }(2)=(2-2)(2-a)+(2-1)(2-a)+(2-1)(2-2)$

$f^{\prime }(2)=0+1\cdot (2-a)+0$

$f^{\prime }(2)=2-a$ 由题意 $f^{\prime }(2)=0$，得：$2-a=0⟹a=2$

3.第三步：计算 $f(0)$

将 $a=2$ 代入原函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-2)=(x-1)(x-2{)}^2$：

$f(0)=(0-1)(0-2{)}^2$

$f(0)=(-1)\times (-2{)}^2$

$f(0)=-1\times 4=-4$ 故填：$-4$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：可导函数极值点的导数零点性质（必要条件）、复合多项式求导规则、函数常数项值的代入计算。
2. 核心方法：因式残留控制法（解法二）。在面对由多个一元线性因式乘积构成的多项式（如零点式 $f(x)=\prod (x-x_i)$ ）求导时，若要代入的自变量本身就是其中某一个因式的根，采用积的导数法则展开（每次只求导一个，其余保留）能利用零乘任意数为零的特性，直接让绝大部分项蒸发。这是解析几何与导数高段位算力选手高频使用的通用特技。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（极值点与最值点混淆导致不敢用 $f^{\prime }(x_0)=0$）：必须明确，极值点是局部域内导数变号的零点，只要函数光滑可导， $f^{\prime }(x_0)=0$ 是极值点判定牢不可破的刚性地基.
• 避坑指南 2（充分性检验的逻辑闭环意识）：严格来说，导数为 0 只是极值点的必要条件而非充分条件（例如 $f(x)=x^3$ 导数在 0 处为 0，但 0 不是极值点）。求出 $a=2$ 后，有经验的考生应在脑海中快速做个符号复核，确保其两侧导数确实发生了变号，避免掉入命题人精心设置的“鞍点”陷阱。

📖 【试题探源与推广】

Tip

💡 【命题透视与解构】

专家评注

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中“导数在研究函数极值中的应用”课后基础练习题。属于高考为了考查全体考生是否掌握了导数核心工具性质而保留的经典常规保分填空题。
2. 结论推广（三次函数因式零点与极值位置的几何对称网络）： 从更高阶的代数与图像结构来看，当 $a=2$ 时，原函数变异为 $f(x)=(x-1)(x-2{)}^2$.

• 这在几何图象上代表着该三次曲线在 $x=1$ 处与 $x$ 轴穿透相交，在 $x=2$ 处与 $x$ 轴重根相切.
• 三次多项式在相切的切点处，由于图象在轴上发生反弹，该相切点 必然是该三次函数的一个标准极值点（本题中为极小值点）.
• 将这一底层几何网络收录到文献库中：若三次函数表达式包含重因式 $(x-x_0{)}^2$，则 $x_0$ 必然是该函数的一个极值点，且在该点处的导数值 $f^{\prime }(x_0)$ 恒等于 0.
• 掌握了这层重根对称网，本题你甚至不需要动笔求导。看到 $x=2$ 是极值点，且因式里已经包含了一个 $(x-2)$，若要让它在 $x=2$ 处导数为 0 且变号，参数 $a$ 必须等于 2 使得整个多项式在 $2$ 处形成二重根。这种高维度的“重根直觉”能让你在宏观上对导数和方程有更深刻的跨越式解构.

3. 方法推广（高阶泰勒展开与多因式联动前瞻）： 本题所展现的因式约简与方程思想，在未来面对形如 $f(x)=(x-1{)}^2(x-2{)}^2(x-3{)}^2$ 这种多重峰峦函数的极值点划分、或者在解决涉及高分导数压轴大题中的“双零点切线放缩”问题时，依然是破题的关键底层逻辑。将因式分解的结构对称性内化为运算惯性，是攻克整张卷子中段填空大盘最坚实的代数防线。

🔗 【关联脉络】

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• 20.04 三次函数性质全总结

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