15 解-三角恒等变换和性质

本题导读

本题是三角函数性质综合大题。第一问通过特殊点求初相，考查基本方程的解法；第二问通过函数叠加，考查利用三角恒等变换将复杂解析式化简为单一三角函数，并进而研究其值域与单调性，属于高考中档常规题.

📌 【题干】

Question

已知 $f(x)=\cos (2x+\phi )$ ($0⩽\phi <\pi$)，且 $f(0)=\frac{1}{2}$.

(1) 求 $\phi$ 的值；

(2) 设 $g(x)=f(x)+f(x-\frac{\pi }{6})$，求 $g(x)$ 的值域和单调区间.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问：直接将 $x=0$ 代入函数解析式，得到 $\cos \phi =\frac{1}{2}$。结合 $\phi$ 的取值范围 $[0,\pi )$ 即可锁定唯一解.
2. 第二问：

• 化简解析式：代入 $\phi$ 得到 $f(x)$ 和 $f(x-\frac{\pi }{6})$，展开后合并同类项，利用辅助角公式将其化为 $g(x)=A\cos (2x+\alpha )$ 的形式.
• 值域：根据余弦函数的范围 $[-1,1]$ 直接得出.
• 单调性：利用复合函数“同增异减”原理，或者直接代入余弦函数的单调区间公式 $\pi +2k\pi ⩽\text{相位}⩽2k\pi$（增）和 $2k\pi ⩽\text{相位}⩽2k\pi +\pi$（减）进行求解.

✅ 【答案】

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(1)$\phi =\frac{\pi }{3}$

(2)值域为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$,

单调递增区间：$[k\pi -\frac{7\pi }{12},k\pi -\frac{\pi }{12}]$ ($k\in \mathbb{Z}$).

单调递减区间：$[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}]$ ($k\in \mathbb{Z}$).

✍ 【详细解析】

（1）第一问详解

最优解法：

(1) 求 $\phi$ 的值： 因为 $f(0)=\cos (2\cdot 0+\phi )=\cos \phi =\frac{1}{2}$， 且 $0⩽\phi <\pi$， 根据余弦函数的性质，满足条件的 $\phi =\frac{\pi }{3}$.

(2) 问详解

最优解法

(2) 求 $g(x)$ 的值域和单调区间： 由 (1) 得 $f(x)=\cos (2x+\frac{\pi }{3})$，

则 $f(x-\frac{\pi }{6})=\cos [2(x-\frac{\pi }{6})+\frac{\pi }{3}]=\cos (2x-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3})=\cos 2x$. 所以 $g(x)=\cos (2x+\frac{\pi }{3})+\cos 2x$.

利用两角和的余弦公式展开： $g(x)=(\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{3})+\cos 2x$

$g(x)=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\cos 2x$

$g(x)=\frac{3}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ 利用辅助角公式合并： $g(x)=\sqrt{(\frac{3}{2}{)}^2+(-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}\cos (2x+\alpha )=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)$ $g(x)=\sqrt{3}\cos (2x+\frac{\pi }{6})$.

值域： 因为 $-1⩽\cos (2x+\frac{\pi }{6})⩽1$， 所以 $g(x)$ 的值域为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$.

单调递增区间： 令 $-\pi +2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)， $-\frac{7\pi }{6}+2k\pi ⩽2x⩽-\frac{\pi }{6}+2k\pi$，

解得：$k\pi -\frac{7\pi }{12}⩽x⩽k\pi -\frac{\pi }{12}$ ($k\in \mathbb{Z}$)，

即$[k\pi -\frac{7\pi }{12},k\pi -\frac{\pi }{12}]$ ($k\in \mathbb{Z}$). 单调递减区间：

令 $2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽\pi +2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)，

$-\frac{\pi }{6}+2k\pi ⩽2x⩽\frac{5\pi }{6}+2k\pi$，

解得：$k\pi -\frac{\pi }{12}⩽x⩽k\pi +\frac{5\pi }{12}$ ($k\in \mathbb{Z}$), 即$[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}]$ ($k\in \mathbb{Z}$).

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根据区间界限确定三角方程的唯一点解、两角和差公式的顺逆双向应用、利用整体代换法剥离自变量的单调边界。
2. 核心方法：整体代换法（单调性无损平移）。在求解形如 $y=\mathcal{A}\cos (\omega x+\varphi )$ 的单调区间时，切忌盲目主观猜测。最稳妥、绝不丢分的硬核技巧就是直接将括号内的整个相位 $(1\cdot \omega x+\varphi )$ 作为一个整体，无缝塞进母体函数 $\cos \mathcal{X}$ 的标准增减区间区间内，通过严格的解不等式变性，让 $x$ 独立出来。这种程序化的代数操作是解答题拿满步骤分的刚性屏障。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（第二问代入因式漏乘系数）：在求解 $f\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 时，自变量整体代换为 $\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$，前面的频率系数 $2$ 必须使用括号整体分发，即展开为 $2x-\frac{\pi }{3}$。有很多基础薄弱的同学容易漏乘，直接写成 $2x-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}$，导致后续所有恒等变换公式彻底崩盘.
• 避坑指南 2（写单调区间遗漏周期因数 $k\in \mathbf{Z}$）：解答题对于单调区间的书写要求极度严苛。最后的区间表达式尾部必须以文本或符号形式严密标注 $k\in \mathbf{Z}$（或 $k$ 为整数）。若漏写此条件，在阅卷标准中通常会被直接无情扣除 1~2 分的步骤分。

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第一册第五章《三角函数》中“两角和与差的三角公式”以及“三角函数的图象与性质”章节例题与课后典型习题的优化组合。属于新高考在解答题前段，为了大面积检测全体考生的“基础恒等变换算力”与“基本作图性质书写规范”而设置的核心阵地。
2. 结论推广（同频正弦波叠加的“合成波”二级特征网络）： 从更高阶的信号处理与波动力学视角来看，本题的 $g(x)=f(x)+f(x-\Delta t)$ 本质上是两个频率相同、振幅相同、但存在特定相位差的余弦波在空间中的相干叠加（Interference）.

• 我们可以将其推广为通用级模型结论： $\cos \mathcal{X}+\cos (\mathcal{X}-\theta )=2\cos \frac{\theta }{2}\cdot \cos \left(\mathcal{X}-\frac{\theta }{2}\right)$
• 该公式在高等数学和电磁学中被称为**“同频波合成公式”**.
• 我们来用该推广结论直接“降维审视”本题：原式中核心相位为 $\mathcal{X}=2x+\frac{\pi }{3}$，后半部分相当于将其减去了 $\theta =\frac{\pi }{3}$（因为 $\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{3}=2x$ ）.
• 将 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 直接代入上面的推广结论模型： $\text{合成波振幅 }\mathcal{A}=2\cos \frac{\frac{\pi }{3}}{2}=2\cos \frac{\pi }{6}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ $\text{合成波新相位 }=\mathcal{X}-\frac{\theta }{2}=\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{6}=2x+\frac{\pi }{6}$
• 两项合成，直接秒得到结论： $g(x)=\sqrt{3}\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$.
• 这与我们在【详细解析】中辛辛苦苦利用两页纸展开化简出来的结果完全一模一样！收录这一干涉网络到文献库中，能让你在宏观上对三角函数的叠加产生至高维度的代数直觉，考场上可用于瞬间完成答案的二次核验。

3. 方法推广（从单体函数到复合导数的值域延伸）： 本题所展示的通过恒等变换将多项式“合一”化、再套用有界性求值域的思想，是处理三角函数最值最基础的铠甲。当未来题目进行高阶变异，比如频率发生改变（如 $y=\cos 2x+\sin 3x$），此时辅助角公式将会失效，其值域的处理必须无缝迁移切换为选择性必修第二册第五章的导数工具法（通过求导寻找驻点，利用极值点锁定值域边界）。无论题型构型如何演变，坚持“能合一则合一，不能合一用导数”的跨章节组合拳，是攻克整张高考卷全部最值难题的终极王道。

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.03 积和转化与半角公式

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