16 解-椭圆弦长

本题导读

本题是解析几何的典型综合大题，考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆相交产生的弦长、面积最值问题，重点在于联立方程后的代数运算能力.

📌 【题干】

Question

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，长轴长为 $4$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 过点 $(0,-2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点。若 $△OAB$ 的面积为 $\sqrt{2}$，求 $|AB|$.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据长轴长 $2a=4$ 求得 $a$，再结合离心率 $e=\frac{c}{a}$ 求得 $c$，利用 $b^2=a^2-c^2$ 确定 $b^2$，从而写出标准方程.
2. 第二问：

• 设直线：由于直线过点 $(0,-2)$ 且与椭圆相交，可设直线 $l:y=kx-2$.
• 联立方程：将直线方程代入椭圆方程，得到关于 $x$ 的一元二次方程，利用韦达定理表示出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$.
• 面积转化：$△OAB$ 的面积可以看作 $\frac{1}{2}\cdot |OP|\cdot |x_1-x_2|$，其中 $P$ 是直线与 $y$ 轴的交点 $(0,-2)$.
• 求弦长：由面积求出 $k^2$ 的值，再代入弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 求解.

✅ 【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

(2) $\sqrt{5}$

✍ 【详细解析】

（1）第一问详解

最优解法：

(1) 求解椭圆 $C$ 的方程： 由题意，椭圆 $C$ 的长轴长为 $4$，即 $2a=4$，解得 $a=2$，故 $a^2=4$. 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，

解得 $c=a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，故 $c^2=2$.

由椭圆性质 $b^2=a^2-c^2=4-2=2$.

故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.

(2) 第二问详解

最优解法

(2) 求解弦长 $|AB|$： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。

由题意知直线 $l$ 的斜率存在，设 $l:y=kx-2$.

联立方程： $\{\begin{array}{l}y=kx-2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{(kx-2{)}^2}{2}=1$ 整理得：$(1+2k^2)x^2-8kx+4=0$.

根据韦达定理：

$x_1+x_2=\frac{8k}{1+2k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{4}{1+2k^2}$. 由 $△=(8k{)}^2-4(1+2k^2)\cdot 4=32k^2-16>0$，

得 $k^2>\frac{1}{2}$.

直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $P(0,-2)$，则 $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|OP|\cdot |x_1-x_2|=\frac{1}{2}\times 2\times |x_1-x_2|=|x_1-x_2|$.

已知 $S_{△OAB}=\sqrt{2}$，则 $|x_1-x_2|=\sqrt{2}$.

由 $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{\frac{64k^2}{(1+2k^2{)}^2}-\frac{16}{1+2k^2}}=\frac{4\sqrt{2k^2-1}}{1+2k^2}$.

令 $\frac{4\sqrt{2k^2-1}}{1+2k^2}=\sqrt{2}$，两边平方： $\frac{16(2k^2-1)}{(1+2k^2{)}^2}=2\Rightarrow 8(2k^2-1)=(1+2k^2{)}^2$. 设 $t=2k^2$ ($t>1$)， 则 $8(t-1)=(1+t{)}^2\Rightarrow t^2-6t+9=0\Rightarrow (t-3{)}^2=0$.

解得 $t=3$，即 $2k^2=3$，$k^2=\frac{3}{2}$.

则 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{3}{2}}\times \sqrt{2}=\sqrt{\frac{5}{2}}\times \sqrt{2}=\sqrt{5}$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求圆锥曲线标准方程、过 $y$ 轴定点的动直线设法、联立去分母代数技巧、利用特殊截距将三角形面积降维拆解、标准弦长公式。
2. 核心方法：底高分离截距面积法（大题抢分绝技）。 在解决涉及坐标原点与动弦构成的 $△OAB$ 面积问题时，绝大多数同学喜欢用复杂的点到直线距离公式去算原点到直线的距离 $d$，然后再去算 $|AB|$，最后进行 $S=\frac{1}{2}|AB|d$ 的高负载相乘。本题演示的**“底高分离法”**（利用直线在坐标轴上的固定截距点 $P(0,-2)$ 作为公共底边 $|OP|=2$，将高直接等价于两根之差的绝对值 $|x_1-x_2|$）能实现代数项的大面积直接对冲，将计算量直接砍掉 60% 以上，是高考大题的核心保分通法。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（漏掉判别式 $\Delta >0$ 导致步骤分残缺）：解析几何大题中，只要设了斜率 $k$ 并进行了方程联立，无条件书写 $\Delta >0$ 并在最后进行数值复核是阅卷标准的硬性得分点。即便最后算出来的 $k^2$ 必然符合，不写此步骤也会被无情扣除 1 分.
• 避坑指南 2（韦达定理代入完全平方式时符号搞错）：由 $(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$ 展开时，注意多项式前面的负号。本题分子最终化简为 $32k^2-16$，在展开右侧去分母时，务必保持细心，防止因大数乘法导致最终因式无法因式分解.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第一册第二章《圆锥曲线的方程》中“直线与椭圆的位置关系”大题板块。高考命题组去除了传统压轴题中晦涩的“定点、定值、非对称性质”等繁琐外壳，回归考查学生在面对基本面积约束时最纯粹的**“联立、转换、代数化简”**的硬算力大盘，是一道含金量极高的经典解析几何中档示范大题.
2. 结论推广（截距型三角形面积与弦长的最值联动网络）： 我们可以将本题的模型提炼为一个普适的二级几何网络

• 设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，直线 $l$ 过定点 $P(0,-m)$ （其中 $m\ge b$ ）.
• 当直线与椭圆相交时，原点与交点围成的 $△OAB$ 的面积公式恒可表示为： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot \frac{2ab\sqrt{a^2{k}^2+b^2-m^2}}{a^2{k}^2+b^2}$
• 我们将本题的数据 $a^2=4,b^2=2,m=2$ 尝试代入这一高阶网络： $S=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{2\times 2\times \sqrt{2}\sqrt{4k^2+2-4}}{4k^2+2}=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{4k^2-2}}{4k^2+2}$
• 已知题目给定面积 $S=\sqrt{2}$，两边消去 $\sqrt{2}$ 得：
• $\frac{4\sqrt{4k^2-2}}{4k^2+2}=1⟹16(4k^2-2)=(4k^2+2{)}^2$
• 设 $t=4k^2$，
• 则 $16(t-2)=(t+2{)}^2⟹16t-32=t^2+4t+4⟹t^2-12t+36=0⟹(t-6{)}^2=0⟹t=6$.
• 因为 $t=4k^2=6⟹k^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
• 这与我们在【详细解析】中通过繁琐联立解出的结果再次严格一致！将这一通用的“截距面积网络”收录到文献库中，能让你在未来的模拟考中面对任何变异的“求 $△OAB$ 面积的最值或取值范围”等压轴难题时，拥有宏观降维俯视的底气.

3. 方法推广（从代数方程到向量点积的无缝合流）： 本题所展示的直线与曲线联立、韦达定理代入的代数框架，是圆锥曲线解答题的“定海神针”。未来当题目从“面积条件”演变为“向量点积约束（如 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\lambda$）”或“双斜率之和为定值（如 $k_{OA}+k_{OB}=0$）”时，其底层的代数重组技术——“将几何图形关系通过坐标翻译为 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$ 的多项式组合”，其操作本质与本题完全合流。将这一套联立流化为运算本能，是攻克整张高考卷后段 22 分解析几何与导数高分大盘最坚实的刚性铠甲。

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

专题合集 (Series)

---

📂 【管理档案】

索引与状态

• 工序状态：初核
• 资产预留：