08.01 函数图象变换、模型与零点

🟦 函数图象变换、模型与零点综合 (Functions Synthesis)

核心心法

图象是载体，逻辑是灵魂。 掌握函数的变换规律是解决几何问题的关键；通过零点存在性定理与参数分离法，可以将复杂的动态问题转化为静态的数值/值域判定。

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一、 函数图象变换问题

1. 两个函数图象间的变换及函数关系

• 平移变换：
  • ① $y=f(x)\stackrel{\text{左右平移 }a\text{ 个单位}}{\to }y=f(x\pm a)$； 注意：$y=f(\omega x)\stackrel{\text{左右平移 }\frac{a}{\omega }\text{ 个单位}}{\to }y=f[\omega (x\pm a)]$（左加右减）。
  • ② $y=f(x)\stackrel{\text{上下平移 }b\text{ 个单位}}{\to }y=f(x)\pm b$； $y=f(\omega x)\stackrel{\text{上下平移 }b\text{ 个单位}}{\to }y=f(\omega x)\pm b$（上加下减）。
• 翻折变换：
  • ③ $y=f(x)\stackrel{\text{翻折}}{\to }y=|f(x)|$（下往上翻）；
  • ④ $y=f(x)\stackrel{\text{翻折}}{\to }y=f(|x|)$（偶函数，右左翻）。
• 伸缩变换：
  • ⑤ $y=f(x)\stackrel{\text{伸缩}}{\to }y=f(\frac{1}{\omega }x)$（沿横轴伸缩 $\omega$ 倍）；
  • ⑥ $y=f(x)\stackrel{\text{伸缩}}{\to }y=Af(x)$（沿纵轴伸缩 $A$ 倍）。
• 对称变换：
  • ① $\{\begin{array}{l}y=f(x)\\ y=f(-x)\end{array}$，关于直线 $x=0$（即 $y$ 轴）对称；
  • ② $\{\begin{array}{l}y=f(x)\\ y=-f(x)\end{array}$，关于直线 $y=0$（即 $x$ 轴）对称；
  • ③ $\{\begin{array}{l}y=f(x)\\ y=-f(-x)\end{array}$，关于原点对称；
  • ④ $\{\begin{array}{l}y=f(x)\\ y=f(2a-x)\end{array}$，关于直线 $x=a$ 对称；
  • ⑤ $\{\begin{array}{l}y=f(a+x)\\ y=f(b-x)\end{array}$，关于直线 $x=\frac{b-a}{2}$ 对称；
  • ⑥ $\{\begin{array}{l}y=f(x)\\ y=2b-f(2a-x)\end{array}$，关于点 $(a,b)$ 对称。

2. 特殊图象与性质

• 反比例型函数：$y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,\frac{a}{c}\ne \frac{b}{d})\stackrel{\text{分子常数化}}{\to }y=\frac{k}{x-x_0}+y_0$
  • 对称中心为点 $(x_0,y_0)$，其中 $x_0=-\frac{d}{c},y_0=\frac{a}{c}$。
  • 定义域：$\{x\mid x\ne x_0\}$；值域：$\{y\mid y\ne y_0\}$。
• 对勾函数及变形：
  • 标准型：$y=x+\frac{k}{x}(k>0)$；
  • 一般形式：$y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x}=ax+\frac{c}{x}+b$；
  • 复合形式：$y=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}\stackrel{t=mx+n}{\to }y=pt+\frac{q}{t}+r$。
• 含根式函数的图象变形：
  • 例：$f(x)=1+\sqrt{4-(x-3{)}^2}\Rightarrow (x-3{)}^2+(y-1{)}^2=4(y\ge 1)$，其图象为半圆。

3. 凹凸性判断

• 凹的 (向上开) $⟺f^{\prime \prime }(x)\ge 0$（切线斜率递增）；
• 凸的 (向上拱) $⟺f^{\prime \prime }(x)\le 0$（切线斜率递减）。

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二、 常用函数模型速查

函数类型	表达式
一次函数	$y=ax+b(a\ne 0)$
二次函数	$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$
指数函数 / 型	$y=a^x$ 或 $y=k\cdot a^x(a>0,a\ne 1)$
对数函数 / 型	$y={\log }_{a}x$ 或 $y=k\cdot {\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$
幂函数 / 型	$y=x^n$ 或 $y=k\cdot x^n(n\in N^{\ast })$

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三、 函数增长快慢

在 $x\to +\infty$ 时，不同类型函数的增长速度（阶数）满足： $V(a^x)>V(x^n)>V({\log }_{a}x)(a>1,n>0)$ $V(kx)>V({\log }_{a}x)(k>0)$

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四、 函数的零点 (Zero Points)

1. 概念与逻辑等价

• 零点概念：使 $f(x)=0$ 的实数 $x$。
• 等价链：方程 $f(x)=0$ 有实根 $⟺$ 函数 $y=f(x)$ 有零点 $⟺$ 图象与 $x$ 轴有交点。
• 注意：零点是数（如 $2$），而不是点（如 $(2,0)$）。
• 交点问题：方程 $f(x)=g(x)$ 的根 $⟺$ 两图象交点的横坐标。
  • 例：方程 $x^2-2^x=0$ 有三个实根：$x_1\in (-1,0),x_2=2,x_3=4$。

2. 零点存在性定理

若 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上图象连续，且 $f(a)f(b)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。

深度说明

1. 定理只保存在，不保证唯一。若加单调性，则唯一。
2. 只适用“变号零点”，不适用“不变号零点”。
3. 充分大/小值：可借助 $x\to +\infty$ 时的正负来判断端点符号。

3. 二分法步骤

(1) 确定验证 $f(a)f(b)<0$ 的区间；(2) 取中点 $c$；(3) 判定 $f(c)$：

• $f(c)=0\Rightarrow$ 找到零点。
• $f(a)f(c)<0\Rightarrow$ 令 $b=c$。
• $f(c)f(b)<0\Rightarrow$ 令 $a=c$。 (4) 判断精确度：若 $|a-b|<\epsilon$ 则停止。

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五、 二次方程根的分布 (以 $a>0$ 为例)

分布情况	关键条件 (结论)
两根都小于 $k$	$\Delta \ge 0,f(k)>0,-\frac{b}{2a}<k$
两根都大于 $k$	$\Delta \ge 0,f(k)>0,-\frac{b}{2a}>k$
一根小于 $k$, 一根大于 $k$	$f(k)<0$
两根都在 $(m,n)$ 内	$\Delta \ge 0,f(m)>0,f(n)>0,m<-\frac{b}{2a}<n$
有且仅有一根在 $(m,n)$ 内	$f(m)f(n)<0$

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六、 恒成立、存在性与分参法

1. 逻辑判定法则

• 单变量：
  • $f(x)<a$ 恒成立 $\Rightarrow f(x{)}_{\max }<a$；
  • $f(x)<a$ 存在性 $\Rightarrow f(x{)}_{\min }<a$。
• 双变量：
  • $\forall x_1,\exists x_2,f(x_1)<g(x_2)\Rightarrow f(x{)}_{\max }<g(x{)}_{\max }$；
  • $\forall x_1,\forall x_2,f(x_1)<g(x_2)\Rightarrow f(x{)}_{\max }<g(x{)}_{\min }$。
• 相等问题：
  • $\exists x_1,\exists x_2,f(x_1)=g(x_2)⟺$ 值域交集 $\ne \varnothing$。

2. 分离参数法 (五个维度)

1. 常规法：$\lambda =g(x)-f(x)$；
2. 倒数法：$\frac{1}{\lambda }=\frac{f(x)}{g(x)}$；
3. 讨论法：$\lambda \ge \frac{f(x)}{g(x)}$ (若除数小于 0，需变号)；
4. 整体法：${\lambda }^2+\lambda =f(x)$；
5. 不完全分离法：$\frac{b}{x}=\ln x+x-x^2$。

3. 一次与二次函数的恒成立

• 一次函数 $f(x)=kx+b$ 在 $[m,n]$ 恒大于 0 $\Rightarrow \{\begin{array}{l}f(m)>0\\ f(n)>0\end{array}$。
• 二次函数 $a{x}^2+bx+c>0$ 在 $\mathbb{R}$ 恒成立 $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=b=0,c>0\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}a>0,\Delta <0\end{array}$。

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