09.02 平面向量的线性运算

🟦 平面向量的线性运算 (Linear Operations of Vectors)

核心心法

向量运算是几何问题的代数化表达。掌握线性运算的关键在于：熟练应用**“三角形法则”与“平行四边形法则”，并利用“共线定理”和“基本定理”**实现平面内向量的分解与合成。

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一、 向量加法运算及其几何意义

1. 运算法则

• (1) 三角形法则：$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$（首尾相接、首尾连）。 规定：$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$。
• (2) 平行四边形法则：以向量 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$ 为邻边作平行四边形 $ABCD$，则 $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$。
• (3) 多边形法则：
  • ① $\overrightarrow{A_1{A}_2}+\overrightarrow{A_2{A}_3}+\cdots +\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}=\overrightarrow{A_1{A}_n}$；
  • ② $\overrightarrow{A_1{A}_2}+\overrightarrow{A_2{A}_3}+\cdots +\overrightarrow{A_{n-1}{A}_n}+\overrightarrow{A_n{A}_1}=\vec{0}$。

2. 运算性质与重要结论

• (4) 向量加、减运算有时不依赖图形也能写出结果，反之，要会对向量主动分解表示。
• (5) 三角不等式：$\left||\vec{a}|-|\vec{b}|\right|\le |\vec{a}\pm \vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$。
• (6) 加法运算律：
  • 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；
  • 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$。
• (7) 三角形中线向量定理：在 $△ABC$ 中，$BC$ 边的中点为 $D$，则：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})⟺\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$。

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二、 向量减法运算及其几何意义

1. 运算法则

• (1) 三角形法则：$\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$（共起点、连终点，指向被减向量终点）。
• (2) 平行四边形法则：以向量 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$ 为邻边作平行四边形 $ABCD$，则 $\overrightarrow{DB}=\vec{a}-\vec{b}$。

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三、 向量数乘运算及其几何意义

1. 定义与性质

规定实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的积是一个向量，记作 $\lambda \vec{a}$。

• ① $|\lambda \vec{a}|=|\lambda ||\vec{a}|$
• ② 方向判定：当 $\lambda >0$ 时，$\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相同；当 $\lambda <0$ 时，$\lambda \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相反；当 $\lambda =0$ 时，$\lambda \vec{a}=\vec{0}$。
• 【注：$\lambda$ 对 $\vec{a}$ 起到同向或反向、伸长或缩短的作用】

2. 数乘运算律

① $\lambda (\mu \vec{a})=(\lambda \mu )\vec{a}$ | ② $(\lambda +\mu )\vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}$ | ③ $\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$ ④ $(-\lambda )\vec{a}=-(\lambda \vec{a})=\lambda (-\vec{a})$ | ⑤ $\lambda (\vec{a}-\vec{b})=\lambda \vec{a}-\lambda \vec{b}$ | ⑥ $\lambda ({\mu }_1\vec{a}+{\mu }_2\vec{b})=\lambda {\mu }_1\vec{a}+\lambda {\mu }_2\vec{b}$

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四、 向量共线定理与平面向量基本定理

1. 向量共线定理

• (1) 充要形式：
  • ① $\vec{a}\parallel \vec{b}(\vec{a}\ne \vec{0})⟺$ 存在唯一的实数 $\lambda$，使得 $\vec{b}=\lambda \vec{a}$。
  • ② 三点共线结论：$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 且 $m+n=1⟺A,B,C$ 三点共线。
• (2) 应用举例：
  • ① $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}⟹A,B,P$ 三点共线。
  • ② 若 $\lambda \vec{a}=\vec{0}$，则 $\lambda =0$ 或 $\vec{a}=\vec{0}$。
  • ③ 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，且 $s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0}$，则 $s=t=0$。

2. 平面向量基本定理

• 内容：如果 $\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 $\vec{a}$，有且只有一对实数 ${\lambda }_1$、${\lambda }_2$，使得：$\vec{a}={\lambda }_1\overrightarrow{e_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{e_2}$。
• 注：不共线的向量 $\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$ 叫做这一平面内所有向量的一组基底。

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五、 向量夹角与形状判定

• ① 夹角 $\theta$ 为锐角：$⟺\vec{a}\cdot \vec{b}>0$ 且排除 $\vec{a}\parallel \vec{b}$。
• ② 夹角 $\theta$ 为钝角：$⟺\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ 且排除 $\vec{a}\parallel \vec{b}$。
• ③ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向：$⟺\vec{b}=\lambda \vec{a}(\lambda >0)⟺\{\begin{array}{l}\vec{a}\parallel \vec{b}\\ \vec{a}\cdot \vec{b}>0\end{array}$
• ④ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向：$⟺\vec{b}=\lambda \vec{a}(\lambda <0)⟺\{\begin{array}{l}\vec{a}\parallel \vec{b}\\ \vec{a}\cdot \vec{b}<0\end{array}$

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

三点共线的“系数和”陷阱

在使用 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 判定三点共线时，前提必须是 $O$ 为平面内任意一点，且系数满足 $m+n=1$。若 $m+n\ne 1$，则点 $C$ 不在直线 $AB$ 上。

三角形中线公式的逆用

看到 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$，应立即联想到 $D$ 是 $BC$ 的中点。这在处理力学平衡或几何中点问题时极具杀伤力。

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