09.05 等和线定理

🟦 等和线定理 (Equal Sum Theorem)

核心心法

等和线定理是平面向量基本定理的深度几何应用。通过观察向量终点所在的直线与基底端点连线的平行关系，可以将复杂的向量线性表示转化为系数之和 $k$ 的几何位置判定。

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一. 等和线定理定义

1. 基础模型

设 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 为平面内一组基底，对于任一向量 $\overrightarrow{OC}$，满足： $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$

2. 定理内容

• 核心定义：若点 $C$ 在直线 $AB$ 上，或在平行于 $AB$ 的直线上，则 $\lambda +\mu =k$（定值），反之亦成立。
• 等和线：我们把直线 $AB$ 以及与直线 $AB$ 平行的直线称为**“等和线”**。

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二. 常用比例与位置结论

定值 $k$ 的取值直接反映了等和线相对于原点 $O$ 与基准线 $AB$ 的空间位置：

等和线位置关系	系数和 $k$ 的范围/值
等和线恰为直线 $AB$ 时	$k=1$
等和线在 $O$ 点和直线 $AB$ 之间时	$k\in (0,1)$
直线 $AB$ 在 $O$ 点和等和线之间时	$k\in (1,+\infty )$
等和线过原点 $O$ 时	$k=0$
等和线在 $O$ 点另一侧（与 $AB$ 异侧）	$k<0$

深度性质补充：

5. 对称性：若两条等和线关于 $O$ 点对称，则其对应的定值 $k$ 互为相反数。
6. 距离正比：定值 $k$ 的变化与等和线到 $O$ 点的距离成正比。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“比例截距”视角的秒杀

当遇到求 $\lambda +\mu$ 范围的题目时，先找到 $k=1$ 的基准线 $AB$。

• 如果点 $C$ 在 $△OAB$ 内部，则 $0<\lambda +\mu <1$。
• 如果点 $C$ 落在 $AB$ 远离原点的一侧，则 $\lambda +\mu >1$。

基底向量的起点

使用等和线定理的前提是三个向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 必须共起点。如果题目给出的向量起点不统一，必须先利用向量减法或平移将其转化为共起点形式，再观察终点分布。

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