11.03 解三角形与解的个数判定

🟦 解三角形与解的个数判定 (Solving Triangles)

核心心法

“三要素定形”。解三角形的本质是利用已知元素推导未知元素。掌握解的个数问题的关键，在于深刻理解正弦函数在 $(0,\pi )$ 上的多值性，以及大边对大角的几何约束。

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一、 唯一确定的三角形

在下列条件下，三角形的形状和大小是唯一的：

• ① 已知三边 ($SSS$)：
  • 方法：直接利用余弦定理求出剩余的三个角。
• ② 已知两边及夹角 ($SAS$)：
  • 方法：利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角。
• ③ 两角及一边 ($ASA$ 或 $AAS$)：
  • 方法：利用内角和先求出第三个角，然后利用正弦定理确定其它两条边。

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二、 不唯一确定的三角形

1. 已知三个角 ($AAA$)

• 现状：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。
• 结论：利用正弦定理只能求出三边的比例：$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$。

2. 已知两边及一边的对角 ($SSA$)

这是解三角形中最复杂的情况。比如已知 $a,b,A$，确定的三角形可能有一解、两解或无解。

逻辑根源

当使用正弦定理求 $B$ 时： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}⟹\sin B=\frac{b\sin A}{a}$ 因为 $B\in (0,\pi )$，当 $\sin B=k\in (0,1)$ 时，可能对应两个角（一个锐角，一个钝角），导致三角形不唯一。

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三、 已知 $a,b,A$ 时解的个数判定

在 $△ABC$ 中，已知 $a,b$ 和 $A$ 时，解的具体情况汇总如下：

角 $A$ 的类型	边长关系	解的个数	几何特征
$A$ 为锐角	$a<b\sin A$	无解	边 $a$ 太短，够不到底边
	$a=b\sin A$	一解	恰好构成直角三角形
	$b\sin A<a<b$	两解	边 $a$ 可以在垂线两侧各构成一个三角形
	$a\ge b$	一解	只有一种情况满足大边对大角
$A$ 为钝角/直角	$a\le b$	无解	钝角所对边必须是最长边
	$a>b$	一解	满足大边对大角

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“大边对大角”的威力

在判定 $SSA$ 情况时，如果算出两个可能的 $B$ 角（如 $30^{\circ }$ 和 $150^{\circ }$），最快的检验方法是看它们是否满足 $a>b⟺A>B$。如果 $a<b$ 但算出的 $B$ 是钝角，显然不成立。

$\sin B$ 的取值范围

如果计算出 $\sin B>1$，则该三角形直接判定为无解。

数形结合法

考试中如果不确定结论，可以画一个底边未知的辅助图：固定角 $A$ 和边 $b$，以 $C$ 点为圆心、边 $a$ 为半径画圆，观察圆与角 $A$ 另一边的交点个数。

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