11.07 角平分线模型

🟦 角平分线模型(Angle Bisector Models)

核心心法

“比例见边，面积定长”。角平分线将对边分割的比例等同于邻边的比例；而通过面积分割法，我们可以推导出角平分线长度的调和平均形式。斯库顿定理则进一步建立了“中、上、下”三部分线段乘积的完美代数关联。

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1. 推论 1：角平分线定理 (Angle Bisector Theorem)

在 $△ABC$ 中，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，则：

• 核心结论：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$

🔍 证明过程

利用面积比的两种表现形式（夹角公式与底高公式）： $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD}{\frac{1}{2}AC\cdot AD\cdot \sin \angle CAD}=\frac{\frac{1}{2}BD\cdot h}{\frac{1}{2}CD\cdot h}$ 由于 $\angle BAD=\angle CAD$，消去共同项后即得：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$

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2. 推论 2：角平分线长等式

在 $△ABC$ 中，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，$AB=c,AC=b,\angle BAC=A$，则：

• (1) 长度显式公式：$AD=\frac{2bc}{b+c}\cdot \cos \frac{A}{2}$
• (2) 调和关系式：$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2\cos \frac{A}{2}}{AD}$

🔍 证明过程

• 针对 (1)：利用面积加和性 $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ADC}$ $\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}c\cdot AD\cdot \sin \frac{A}{2}+\frac{1}{2}b\cdot AD\cdot \sin \frac{A}{2}$ $AD=\frac{bc}{b+c}\cdot \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{bc}{b+c}\cdot \frac{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{2bc}{b+c}\cdot \cos \frac{A}{2}$
• 针对 (2)：由 (1) 变形得： $\frac{b+c}{bc}=\frac{2\cos \frac{A}{2}}{AD}⟹\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2\cos \frac{A}{2}}{AD}$

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3. 推论 3：斯库顿定理 (Stewart’s Theorem Specific Case)

在 $△ABC$ 中，$AD$ 为 $\angle BAC$ 的平分线，则：

• 核心结论：$A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$
• 记忆口诀：“中方 = 上积 - 下积”（即中间长度的平方等于上方两边乘积减去下方两段乘积）。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“调和平均”的直观理解

结论 (2) $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\dots$ 说明角平分线长度与邻边倒数和有关。在已知两边和夹角（如 $60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$）时，利用此公式求角平分线极其迅速。

斯库顿定理的应用前提

只有当 $AD$ 是角平分线时，“中方=上积-下积”才成立。如果是普通中线或任意分线，需使用广义斯特瓦尔特定理。

向量视角的结合

结合之前学习的向量知识，$D$ 点作为 $BC$ 边上的分点，其向量表示为：$\overrightarrow{AD}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$。这在处理角平分线上的动点问题时非常关键。