11.10 托勒密定理

🟦 托勒密定理 (Ptolemy’s Theorem)

核心心法

“对边积之和等于对角线之积”。托勒密定理是圆内接四边形最重要的度量性质之一。它不仅在平面几何中建立了两对对边与对角线的直接代数联系，在三角恒等式的几何证明（如两角和差公式）中也扮演着关键角色。

---

1. 定理内容

(1) 圆内接四边形（等号成立）

若四边形 $ABCD$ 是圆内接四边形，则其相对两边乘积之和等于对角线的乘积： $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$

(2) 任意四边形（托勒密不等式）

对于平面内任意四个点 $A,B,C,D$，以下不等式恒成立： $AB\cdot CD+AD\cdot BC\ge AC\cdot BD$

• 取等条件：当且仅当 $A,B,C,D$ 四点共圆，且 $A,C$ 与 $B,D$ 分别为对顶点时，等号成立。

---

2. 托勒密定理的常见变形与推论

• (1) 正三角形中的应用： 若点 $P$ 位于正 $△ABC$ 的外接圆弧 $BC$ 上，则根据托勒密定理可得：$PA=PB+PC$。
• (2) 矩形中的应用： 在矩形 $ABCD$ 中，托勒密定理退化为勾股定理：$a^2+b^2=c^2$。
• (3) 构造辅助圆： 在处理涉及 $ax+by=cz$ 形式的几何最值或等式证明题时，构造四点共圆并套用托勒密定理通常是“秒杀”级的解法。

---

⚠️ 考场避坑与做题技巧

两角和差公式的几何源头

托勒密定理实际上可以用来推导 $\sin (\alpha +\beta )$ 等公式。通过构造一个直径为 1 的圆，并将四边形的边长用弦长公式（$2R\sin \theta$）表示，即可直接导出三角恒等式。

顶点的顺序性

在使用不等式 $AB\cdot CD+AD\cdot BC\ge AC\cdot BD$ 时，务必确认 $AC$ 和 $BD$ 是你所设定的“对角线”。如果顶点排列顺序改变，不等式的项也会相应调整。

在解析几何中的隐蔽性

某些复杂的坐标运算题，如果能通过距离公式识别出满足托勒密等式的结构，可以直接判定四点共圆，从而利用圆的性质（如圆周角相等）来寻找突破口。