13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

🟦 立体几何高阶：定理、模型与性质 (Advanced Solid Geometry)

核心心法

“公式降维，模型破局”。立体几何的高阶解法在于跳出常规的“作-证-算”，利用三余弦、三正弦等定理直接在角度间建立联系，或者通过“长方体补形”将复杂的四面体问题转化为熟悉的规则模型。

一 . 投影面积法求二面角

1. 公式：二面角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{S^{\prime }}{S}$，其中 $S$ 为斜面面积，$S^{\prime }$ 为投影面积。

2. 示例： 在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$ABCD$ 为正方形，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=AB=a$，求平面 $PBA$ 与平面 $PDC$ 所成二面角的大小。

3.解答：（投影面积法）

$\begin{array}{r}AD\perp PA\\ AD\perp AB\\ PA\cap AB=A\end{array}\}\Rightarrow AD\perp$ 平面 $PBA$ 于 $A$， 同时，$BC\perp$ 平面 $BPA$ 于 $B$， 故 $△PBA$ 是 $△PCD$ 在平面 $PBA$ 上的射影。 设平面 $PBA$ 与平面 $PDC$ 所成二面角大小为 $\theta$， 则 $\cos \theta =\frac{S_{△PAB}}{S_{△PCD}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \theta =45^{\circ }$。

二. 异面直线段与四面体体积

已知异面直线段 $AB=a$，$CD=b$，异面直线夹角为 $\theta$，且异面直线距离为 $d$， 则四面体 $ABCD$ 体积为： $V_{ABCD}=\frac{1}{6}abd\sin \theta$。

三. 空间余弦定理

空间四边形 $ABCD$ 的两条异面直线 $AC$ 与 $BD$ 夹角为 $\theta$，则满足： $\cos \theta =\frac{||AB{|}^2+|CD{|}^2-|AD{|}^2-|BC{|}^2|}{2|AC|\cdot |BD|}$。

**证明：

** 如图所示，四边形 $ABCD$ 中， $|\overrightarrow{AD}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2-|\overrightarrow{AB}{|}^2-|\overrightarrow{CD}{|}^2=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})\cdot (\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD})=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}\cdot (\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD})=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD})\cdot \overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$，

则有 $|AB{|}^2+|CD{|}^2-|AD{|}^2-|BC{|}^2=2|AC|\cdot |BD|\cos ⟨\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}⟩$， 于是 $\cos \theta =\frac{|AB{|}^2+|CD{|}^2-|AD{|}^2-|BC{|}^2}{2|AC|\cdot |BD|}$。 特别地，当 $AC\perp BD$ 时，有 $|AB{|}^2+|CD{|}^2=|AD{|}^2+|BC{|}^2$。

四. 三余弦定理（三垂线定理的推广）

设二面角 $C-OB-A$ 大小为 $\alpha$，$\angle COB={\theta }_1$，$\angle AOB={\theta }_2$，$\angle AOC=\theta$，此时三余弦定理可推广为： $\cos \theta =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\cos \alpha$ 特别地，当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，有 $\cos \theta =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2$。

证明： 设 $OB=1$，则有 $|CO|=\frac{1}{\cos {\theta }_1}$，$|AO|=\frac{1}{\cos {\theta }_2}$，$|CB|=\tan {\theta }_1$，$|AB|=\tan {\theta }_2$， 于是 $|AC{|}^2={\left(\frac{1}{\cos {\theta }_1}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\cos {\theta }_2}\right)}^2-2\frac{1}{\cos {\theta }_1}\cdot \frac{1}{\cos {\theta }_2}\cdot \cos \theta =(\tan {\theta }_1{)}^2+(\tan {\theta }_2{)}^2-2\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2\cos \alpha$， 化简得到 $\cos \theta =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\cos \alpha$。 特别地，当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，有 $\cos \theta =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2$。

五、三正弦定理

设二面角 $M-AB-N$ 的大小为 $\alpha$，在平面 $M$ 内有一条射线 $AC$，它和棱 $AB$ 所成的角为 $\beta$，和平面 $N$ 所成的角为 $\gamma$，则： $\sin \gamma =\sin \alpha \cdot \sin \beta$ 可形象记为：

线面角的正弦值 = 二面角的正弦值 × 线线角的正弦值。

证明过程

1. 过点 $C$ 作平面 $N$ 的垂线，垂足为 $O$，则 $\angle CAO$ 为 $AC$ 与平面 $N$ 所成的角，即 $\angle CAO=\gamma$，因此： $\sin \gamma =\frac{OC}{AC}$

2. 在平面 $M$ 中，过点 $C$ 作棱 $AB$ 的垂线，垂足为 $B$，连接 $OB$。由三垂线定理，$OB\perp AB$，故 $\angle CBO$ 为二面角 $M-AB-N$ 的平面角，即 $\angle CBO=\alpha$，因此： $\sin \alpha =\frac{OC}{BC}$ 3. 在 $Rt△ABC$ 中，$AC$ 与棱 $AB$ 所成的角为 $\beta$，因此： $\sin \beta =\frac{BC}{AC}$ 4. 联立三式，可得： $\sin \alpha \cdot \sin \beta =\frac{OC}{BC}\cdot \frac{BC}{AC}=\frac{OC}{AC}=\sin \gamma$ 即： $\sin \gamma =\sin \alpha \cdot \sin \beta$ 定理得证。

六. 最小角定理

平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内任一直线所成角中的最小者，即线面角是最小的线线角。（由三余弦定理 $\cos \angle PAB=\cos \theta \cdot \cos \angle OAB$ 可得）

七. 最大角定理

对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角。（由三正弦定理 $\sin \theta =\sin \alpha \cdot \sin \angle PAB$ 可得）

八. 常见四面体的性质

1. 三组对棱分别相等的四面体必内接于唯一的长方体，且四面体的棱分别为长方体的面对角线。

2. 正四面体 $P-ABC$ 可以补为正方体，且正方体的棱长 $a=\frac{PA}{\sqrt{2}}$。

3. 若四面体有三条棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内。

4. 若四面体的四个面均是直角三角形，则可将其放入某个长方体内。

5. 三组对棱分别相等的四面体的棱长 $A^{\prime }B、B{C}^{\prime }、A^{\prime }C$ 必构成锐角三角形。

6. 任一四面体内接于唯一的平行六面体，且四面体体积是平行六面体体积的三分之一。

7. $P$ 为 $△ABC$ 所在平面外一点，$O$ 为 $P$ 在平面 $ABC$ 上的射影。

① 若 $PA、PB、PC$ 两两互相垂直，则 $O$ 点是 $△ABC$ 的垂心。

② 若 $P$ 到 $△ABC$ 三边距离相等，且 $O$ 在 $△ABC$ 内部，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的内心。

③ 若 $PA\perp BC,PB\perp AC$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的垂心。

④ 若 $PA、PB、PC$ 与底面 $ABC$ 成等角，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的外心。

⑤ 若 $PA=PB=PC$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的外心。

⑥ 若 $PA=PB=PC$，$\angle C=90^{\circ }$，则点 $O$ 是 $AB$ 边的中点。

⑦ 若$\angle PAB=\angle PAC$,$\angle PCB=\angle PCA$,则点 $O$ 是 $△ABC$ 的内心。

九. 正方体的性质

1. $B{D}_1\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}D$，$B{D}_1\perp$ 平面 $AC{B}_1$。

2. $F$ 为平面 $A_1{C}_{1}D$ 的中心，$E$ 为平面 $AC{B}_1$ 的中心。

3. $E、F$ 为 $B{D}_1$ 的三等分点。

4. 平面 $A_1{C}_{1}D\parallel$ 平面 $AC{B}_1$。

十. 正方体截面

（1）可截出的图形 正方体的截面可以是以下图形： 三角形：任意三角形、正三角形 - 四边形：梯形、平行四边形、正方形、菱形、矩形 - 五边形：任意五边形 - 六边形：任意六边形、正六边形

（2）不可截出的图形 正方体的截面不会出现以下图形： 直角三角形、钝角三角形 - 直角梯形 - 正五边形

（3）作截面方法

1. 作平行：通过作与正方体棱平行的平面来确定截面。

2. 作相交：通过作与正方体棱相交的平面来确定截面。

十一. 墙角体性质

（1）底面 $△ABC$ 为锐角三角形；

（2）顶点 $P$ 在底面上的投影 $H$ 恰为 $△ABC$ 的垂心；

（3）设墙角 $P$ 到底面的距离为 $h$，墙角的三侧棱长分别为 $a,b,c$，则有： $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

（4）由均值不等式可得： $abc\ge 3\sqrt{3}{h}^3$

（5）设三个侧面和底面的面积分别为 $S_{△ABP},S_{△BCP},S_{△CAP},S_{△ABC}$，则： $S_{△ABP}^2+S_{△BCP}^2+S_{△CAP}^2=S_{△ABC}^2$

（6）设侧面与底面所成的二面角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，则： ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =2$

（7）若点 $Q$ 为底面 $ABC$ 内任意一点，设 $\angle APQ=\alpha ,\angle BPQ=\beta ,\angle CPQ=\gamma$，则有： ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

（8）设侧棱 $PA,PB,PC$ 与底面 $ABC$ 所成角为 ${\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },{\gamma }^{\prime }$，则： ${\sin }^2{\alpha }^{\prime }+{\sin }^2{\beta }^{\prime }+{\sin }^2{\gamma }^{\prime }=1$

（9）若点 $Q$ 为底面 $ABC$ 内任意一点，设 $PQ$ 与平面 $PAC$ 所成角为 $\alpha$，与平面 $PBC$ 所成角为 $\beta$，与平面 $PAB$ 所成角为 $\gamma$，则： ${\sin }^2{\alpha }^{\prime \prime }+{\sin }^2{\beta }^{\prime \prime }+{\sin }^2{\gamma }^{\prime \prime }=1$

（10）设墙角体底面 $△ABC$ 内一点 $M$ 到各侧面的距离分别为 $h_1,h_2,h_3$，则点 $M$ 到顶点 $P$ 的距离： $d=\sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2}$

⚠️ 考场避坑与做题技巧

墙角体性质的类比记忆

墙角体的面积平方和公式（结论 5）实际上是空间中的勾股定理。在处理三条侧棱两两垂直的四面体时，这个公式能极速求解底面面积。

截面的唯一性

在画正方体截面时，一定要注意“平行线在平行面上的交线必平行”。如果截面经过两个平行相对的面，那么它在这两个面上的交线段必须是平行的。

三正弦定理的妙用

很多关于“折叠”或“动态旋转”的问题中，二面角 $\alpha$ 变化，但线线角 $\beta$ 往往不变，此时利用 $\sin \gamma =\sin \alpha \sin \beta$ 可以瞬间求出线面角 $\gamma$ 的范围或最值。