14.01随机抽样、平均数与方差

🟦 统计学基础：随机抽样、平均数与方差 (Statistics)

核心心法

“样本推断总体，分层化繁为简”。统计学的核心是通过科学的抽样方法（如简单随机抽样、分层随机抽样）获取具有代表性的样本，并利用平均数（集中趋势）和方差（离散程度）来定量描述总体的特征。

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一、 随机抽样 (Random Sampling)

1. 调查方式

• (1) 全面调查：对调查对象全体逐一调查（如人口普查）。
• (2) 抽样调查：从总体中抽取部分个体调查，以此推断总体情况。核心是样本需具有代表性。

2. 基本概念

• 总体：调查对象的全体。
• 个体：组成总体的每一个调查对象。
• 样本：从总体中抽取的部分个体。
• 样本容量：样本中包含的个体数量。

3. 抽样方法

• 简单随机抽样：
  • 放回式：每次抽取后放回，个体概率始终相等。
  • 不放回式（常用）：每次抽取后不放回，个体概率始终相等。
• 分层随机抽样：
  • 按变量将总体划分为互不重叠的层，各层独立抽样。
  • 比例分配：每层的样本量与该层的大小成比例。

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二、 平均数的计算 (Mean)

• 普通平均数：$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$
• 加权平均数：$\bar{x}={\sum }_{i=1}^n{p}_i{x}_i$ （$p_i$ 为频率）
• 分层抽样的总平均数 ($\bar{w}$)：
  • 两层：$\bar{w}=\frac{m}{m+n}\bar{x}+\frac{n}{m+n}\bar{y}$
  • 三层：$\bar{w}=\frac{l}{l+m+n}\bar{x}+\frac{m}{l+m+n}\bar{y}+\frac{n}{l+m+n}\bar{z}$

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三、 方差与标准差 (Variance & Standard Deviation)

1. 基本计算

• 普通方差：$s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\bar{x}}^2$
• 加权方差：$s^2={\sum }_{i=1}^n{p}_i(x_i-\bar{x}{)}^2$
• 标准差：$s=\sqrt{s^2}$。刻画数据的离散程度，$s$ 越大波动越大。

2. 分层抽样的方差公式

若两层样本分别为 $(m,\bar{x},s_x^2)$ 和 $(n,\bar{y},s_y^2)$，总平均数为 $\bar{w}$： $s^2=\frac{m}{m+n}\left[s_x^2+(\bar{x}-\bar{w}{)}^2\right]+\frac{n}{m+n}\left[s_y^2+(\bar{y}-\bar{w}{)}^2\right]$

🔍 证明简述： 利用方差定义式展开，通过添加项 $(\bar{x}-\bar{x})$ 进行平移，利用 $\sum (x_i-\bar{x})=0$ 的性质简化交叉项，最终合并为各层方差与各层均值偏离度的加权和。

• 三层情况： $s^2={\sum }_{layer=1}^3\frac{n_i}{n_{total}}[s_i^2+({\bar{x}}_i-\bar{w}{)}^2]$

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四、 数据的线性变换结论 (Linear Transformation)

若新数据 $y_i=a{x}_i+b$，原数据特征为 $(\bar{x},s_x^2,x_p,x_0)$，则新特征如下：

统计量	变换公式	备注
平均数	$\bar{y}=a\bar{x}+b$	随 $a,b$ 同步平移伸缩
方差	$s_y^2=a^2{s}_x^2$	与常数 $b$ 无关
百分位数	$y_p=a{x}_p+b$	保持顺序关系
众数	$y_0=a{x}_0+b$	对应位置平移
极差	$R_y =	a

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

分层方差的物理意义

分层方差公式由两部分组成：层内方差（$s_x^2$）和层间方差（$(\bar{x}-\bar{w}{)}^2$）。如果各层均值差异很大，即使各层内部很稳定，总方差也会非常大。

方差计算的捷径

在手动计算方差时，优先使用公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$（平方的平均减去平均的平方），这通常比直接用差值平方和计算量更小。

抽样概率的公平性

无论是不放回抽样还是分层抽样，在没有任何附加信息的情况下，总体中每个个体被抽到的概率都是 $n/N$。这是判断抽样方法是否科学的核心标准。