🟦 距离公式汇总 (Distance Formulas)

核心心法

“根号决定长度，绝对值决定偏差”。解析几何中的距离问题本质上是勾股定理的坐标化。两点距离是基础，点到直线距离是核心，而平行线间距离则是点到直线距离的特殊化应用。掌握弦长公式的变形，是解决直线与圆锥曲线综合题的关键。

1. 两点间的距离 (Distance Between Two Points)

已知两点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，则： $∣ P_{1} P_{2} ∣ = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$

若两点 $P_{1}, P_{2}$ 在直线 $y = k x + m$ 上，则距离可简化为关于横坐标或纵坐标差的形式： $∣ P_{1} P_{2} ∣ = 1 + k^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 1 + \frac{1}{k ^{2}} ∣ y_{1} - y_{2} ∣$

点 $P (x_{0}, y_{0})$ 到直线 $l : A x + B y + C = 0$ ( $A^{2} + B^{2} \neq = 0$ ) 的距离： $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$

设 $Q (x_{1}, y_{1})$ 为直线 $l$ 上任一点，则 $A x_{1} + B y_{1} + C = 0$ 。
直线 $l$ 的法向量为 $n = (A, B)$ 。
距离 $d$ 即为向量 $PQ$ 在法向量方向上投影的模： $d = \frac{∣ PQ \cdot n ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣ A ( x _{1} - x _{0} ) + B ( y _{1} - y _{0} ) ∣}{A ^{2} + B ^{2}} = \frac{∣ ( A x _{1} + B y _{1} ) - ( A x _{0} + B y _{0} ) ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$
代入 $A x_{1} + B y_{1} = - C$ ，整理得 $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ 。

对于直线 $l_{1} : A x + B y + C_{1} = 0$ 和 $l_{2} : A x + B y + C_{2} = 0$ ： $d = \frac{∣ C _{1} - C _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$

使用前提

在套用此公式前，必须保证 $x, y$ 的系数 $A, B$ 完全相等。如果比例相同但数值不等（如 $x + y + 1 = 0$ 与 $2 x + 2 y + 5 = 0$ ），需先化为相同系数后再提取 $C_{1}, C_{2}$ 。

弦长公式的妙用

在解析几何大题中，经常需要求直线被圆或圆锥曲线截得的线段长。利用 $1 + k^{2} ∣ x_{1} - x_{2} ∣$ 结合韦达定理，可以极大地减少开根号带来的计算负担。

分母开方不要漏

计算点到直线距离时，分母是 $A^{2} + B^{2}$ 。很多学生在紧张时容易忘记加根号，或者将其与斜率公式混淆。

符号的处理

公式分子带有绝对值，这意味着点在直线两侧时， $A x_{0} + B y_{0} + C$ 的符号是不同的。在处理平分距离或角平分线轨迹时，拆开绝对值通常需要讨论正负两种情况。