17.01 圆的方程与圆系理论

🟦 圆的方程与圆系理论 (Circle Equations & Systems)

核心心法

“定义定方程，几何定参数”。圆的标准方程直观展示圆心与半径，一般方程则便于代数处理。圆系方程是解析几何中解决“过交点”或“相切”问题的降维利器，它利用线性组合的思想，将复杂的动态轨迹问题转化为待定系数的求解。

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一、 圆的定义与方程

1. 基本定义

平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合。定点为圆心，定长为半径。

2. 方程形式

• ① 标准方程：$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
  • 圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$。
  • 半圆表示：$y=b+\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$ (上) 或 $x=a-\sqrt{r^2-(y-b{)}^2}$ (左) 等。
• ② 一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$
  • 存在前提：$D^2+E^2-4F>0$。
  • 圆心坐标：$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$。
  • 半径：$r=\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$。

3. 特殊模型：斜率圆 (直径圆)

动点 $P$ 满足对两个定点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 的张角是 $90^{\circ }$（即 $k_{PA}\cdot k_{PB}=-1$ 或 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$）的轨迹。

• 方程：$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$。

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二、 圆系方程 (Circle Systems)

(1) 公共弦与内公切线

若圆 $C_1,C_2$ 的一般方程相减，得直线：$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+F_1-F_2=0$。

• 相交时：公共弦所在的直线方程。
• 相切时：内公切线方程。
• 相离时：到两圆切线段相等的点轨迹（等幂轴）。

(2) 过交点的圆系

• 圆 vs 直线：$C+\lambda l=0$ $x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda (Ax+By+C)=0$
• 圆 vs 圆：$C_1+\lambda C_2=0$ $x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_1+\lambda (x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_2)=0(\lambda \ne -1)$

(3) 相切圆系

• 圆 vs 切点 $(x_0,y_0)$： $x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda \left[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2\right]=0$
• 圆 vs 切线 $l$： $x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda (Ax+By+C)=0$

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三、 求圆方程的技巧

• (1) 常用方法：
  • 方法一：几何法。主动寻找圆心（如两条弦中垂线的交点）和半径。
  • 方法二：待定系数法。根据已知条件设标准式或一般式。
• (2) 三角形内切圆：
  • 采用等面积法求半径 $r=\frac{2S}{a+b+c}$，再结合内心坐标求解。
• (3) 利用圆系方程求解：
  • 经过圆与直线交点时，设出圆系方程直接代入第三点坐标，可避免求交点坐标的繁琐计算。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“点圆”的思想

在圆系方程中，把一个点 $(x_0,y_0)$ 看作半径为 0 的圆：$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=0$。这在处理过圆上某一点且与圆相切的圆系问题时非常高效。

一般方程的判别式

使用 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 时，务必检查 $D^2+E^2-4F$ 是否大于 0。如果等于 0，它表示一个点；如果小于 0，它不代表任何几何图形。

公共弦长度计算

求公共弦长无需联立求交点。只需先算出公共弦方程，再利用圆心到直线的距离 $d$，结合勾股定理 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$ 即可。