17.03 点与圆的位置关系

🟦 点与圆的位置关系 (Point and Circle)

核心心法

“距离定位置，符号定空间”。判定点与圆的关系有三种维度：几何直观（距离 $d$）、代数计算（代入方程）以及向量特征（张角 $\angle APB$）。理解这些关系的本质是解决圆的切线、弦长以及动态最值问题的逻辑起点。

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1. 判定方法

(1) 几何法 (距离判断)

设点到圆心的距离为 $d$，圆半径为 $r$：

• 点在圆内 $⟺d<r$
• 点在圆上 $⟺d=r$
• 点在圆外 $⟺d>r$

(2) 代数法 (代入方程)

给定点 $M(x_0,y_0)$ 及圆 $C:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$：

• $M$ 在圆内 $⟺(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2<r^2$
• $M$ 在圆上 $⟺(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2=r^2$
• $M$ 在圆外 $⟺(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2>r^2$

(3) 向量法 (张角判断)

利用 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的符号，判断点 $P$ 与以 $AB$ 为直径的圆的位置关系：

• $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$：点 $P$ 在圆上，$\angle APB$ 为直角。
• $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}>0$：点 $P$ 在圆外，$\angle APB$ 为锐角。
• $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}<0$：点 $P$ 在圆内，$\angle APB$ 为钝角。

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2. 点到圆上点的距离最值

设点 $M$ 为定点，点 $N$ 为圆 $O$ 上的动点。设 $M$ 到圆心 $O$ 的距离为 $OM$，圆半径为 $r$：

(1) 若点 $M$ 在圆内：

• 最近距离 $M{N}_{\min }=r-OM$
• 最远距离 $M{N}_{\max }=r+OM$

(2) 若点 $M$ 在圆外：

• 最近距离 $M{N}_{\min }=OM-r$
• 最远距离 $M{N}_{\max }=OM+r$

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

向量积的妙用

向量法 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 实际上是“直径圆”方程 $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)$ 的几何表现。在处理涉及“直角”、“锐角”或“钝角”轨迹的问题时，直接套用向量积符号比设坐标解方程快得多。

距离最值的共线原则

点到圆上点的最值点 $N$ 必然位于过点 $M$ 与圆心 $O$ 的直线上。在做题时，先求 $OM$ 的距离，再通过加减半径 $r$ 得到结果，不需要设 $N$ 点坐标。

隐含的圆方程

题目若提到“点对线段 $AB$ 的张角为直角”，应立刻反应出该点的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆（需剔除 $A,B$ 两点）。