🟦 圆与圆的位置关系 (Relationship Between Two Circles)

核心心法

“距离定位置，方程求交线”。圆与圆的关系是圆与直线关系的升维拓展。判定两圆关系的灵魂在于“圆心距 $d$ ”，通过 $d$ 与半径和、半径差的量化比较，可以瞬间锁定五种相对位置；而通过方程相减构造的“根轴（公共弦）”，则是连接两圆代数特征的桥梁。

1. 圆与圆位置关系的判断方法

解两个圆方程组成的二元二次方程组：

设两圆圆心分别为 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ ，圆心距 $∣ O_{1} O_{2} ∣ = d$ ，两圆半径分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，则：

① $d > r_{1} + r_{2} ⟺$ 两圆外离 $⟺$ 4条公切线；

② $d = r_{1} + r_{2} ⟺$ 两圆外切 $⟺$ 3条公切线；

③ $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2} ⟺$ 两圆相交 $⟺$ 2条公切线；

④ $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣ \neq = 0 ⟺$ 两圆内切 $⟺$ 1条公切线；

⑤ $0 < d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣ ⟺$ 两圆内含 $⟺$ 没有公切线。（特例：两圆是同心圆 $⟺ d = 0$ 且 $r_{1} \neq = r_{2}$ ）

若两圆方程分别为： $C_{1} : x^{2} + y^{2} + D_{1} x + E_{1} y + F_{1} = 0$ $C_{2} : x^{2} + y^{2} + D_{2} x + E_{2} y + F_{2} = 0$

当两圆相交时，方程相减即得公共弦 $A B$ 所在直线方程： $(D_{1} - D_{2}) x + (E_{1} - E_{2}) y + F_{1} - F_{2} = 0$

设两圆 $C_{1}, C_{2}$ 的任一交点坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，则满足：

$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + D_{1} x_{0} + E_{1} y_{0} + F_{1} = 0 \dots ①$
$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + D_{2} x_{0} + E_{2} y_{0} + F_{2} = 0 \dots ②$ 由 $① - ②$ 得： $(D_{1} - D_{2}) x_{0} + (E_{1} - E_{2}) y_{0} + F_{1} - F_{2} = 0$ 。由于两个交点的坐标都满足该一次方程，且过两点的直线是唯一的，故该方程即为公共弦所在直线方程。

圆心距是第一生产力

绝大多数两圆位置关系题，都不建议解方程组。直接算出两圆圆心坐标和半径，求出圆心距 $d$ ，对比 $r_{1} \pm r_{2}$ 即可。

内切与外切的区别

题目说“两圆相切”时，包含内切和外切两种情况。此时应讨论 $d = r_{1} + r_{2}$ 或 $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ ，不要漏掉其中一种可能。

公共弦长计算

求相交两圆的公共弦长度，无需解出交点。

方程相减得公共弦方程 $l$ 。

求其中一圆圆心到直线 $l$ 的距离 $d$ 。

利用勾股定理 $L = 2 r^{2} - d^{2}$ 求解。