🟦 直线与圆的位置关系 (Line and Circle)
核心心法
“几何优先，代数保底”。判定直线与圆的关系时，圆心到直线的距离 与半径 的比较永远是首选方案。在处理弦长问题时，垂径定理构成的勾股模型比联立方程更简洁；而处理“圆上点到直线的距离”问题时，则需关注 与 的加减组合。
1. 三种位置关系的判定方法
(1) 几何法 (距离判断)
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 ：
- 相离：没有公共点
- 相切：只有一个公共点
- 相交：有两个公共点
(2) 代数法 (联立方程)
联立直线 与圆 ，消元得到一元二次方程，通过判别式 判断：
- ：2 个交点，直线与圆相交。
- ：1 个交点，直线与圆相切。
- ：0 个交点，直线与圆相离。
2. 圆的弦长的求法
(1) 几何法 (垂径定理 - 推荐)
当直线和圆相交时，设弦长为 ，弦心距为 ，半径为 ：
- 勾股模型：
🔍 过圆内一点 的弦的最值：
- 最长的弦：过点 的直径。
- 最短的弦：与过点 的直径垂直的弦。
(2) 代数法 (韦达定理)
设直线斜率为 ，交点为 ：
- 弦长公式：
- 利用联立方程消元后的韦达定理求解 。
3. 点、直线和圆的距离模型
设圆半径为 ，圆心到直线 的距离为 。若研究圆上点到直线 的距离为 的点个数：
| 圆上点到直线的距离为 的点个数 | 几何判定条件 |
|---|---|
| 恰有 1 个点 | |
| 恰有 2 个点 | |
| 恰有 3 个点 | |
| 恰有 4 个点 |
⚠️ 考场避坑与做题技巧
勾股定理是求弦长的捷径
凡是求弦长，先算点到直线距离 。除非直线方程带参数且无法直接求出 ，否则尽量避免使用复杂的韦达定理弦长公式。
“恰有 3 个点”的特殊性
这是一个极高频考点。只有当直线与圆相交，且直线到圆心的距离正好等于“半径减去目标距离”时，才会出现 3 个点（其中一个点是圆上距离直线最近的那个极值点）。
圆上点到直线的距离最值
圆上点到直线的距离最大值为 ，最小值为 。如果直线与圆相交，最小距离为 。