17.07 圆幂定理

🟦 圆幂定理 (Power of a Point Theorem)

核心心法

“点到圆周，积值定标”。圆幂定理统一了圆内、圆上及圆外点与圆的位置关系。无论是相交弦、切割线还是割线，其本质都是描述从同一点出发的射线与圆相交所形成的线段乘积的等价性。它是处理比例线段与相似三角形问题的强力武器。

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1. 相交弦定理 (Intersecting Chords Theorem)

• 定义：圆内的两条相交弦 $AB$、$CD$，被交点 $P$ 分成的两条线段长的积相等。
• 公式：$|PA|\cdot |PB|=|PC|\cdot |PD|$

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2. 切割线定理 (Tangent-Secant Theorem)

• 定义：从圆外一点 $P$ 引圆的切线 $PA$ 和割线 $PCD$，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
• 公式：$|PA{|}^2=|PC|\cdot |PD|$

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3. 割线定理 (Secant-Secant Theorem)

• 定义：从圆外一点 $P$ 引两条割线与圆分别交于 $A,B$ 和 $C,D$。
• 公式：$|PA|\cdot |PB|=|PC|\cdot |PD|$

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

圆幂的统一本质

若圆心为 $O$，半径为 $r$，点 $P$ 到圆心的距离为 $d$，则上述乘积 $|PA|\cdot |PB|$ 的绝对值恒等于 $|d^2-r^2|$。这就是“圆幂”概念的来源。

端点的顺序

在使用切割线和割线定理时，线段必须是从公共点 $P$ 出发的。例如割线定理中是 $|PA|\cdot |PB|$（全长乘外段），千万不要误写成内部的线段乘积 $|PA|\cdot |AB|$。

相似三角形的隐藏条件

圆幂定理的背后往往隐藏着成对的相似三角形（如 $△PAC\sim △PDB$）。在证明题中，如果发现圆幂定理难以直接奏效，尝试寻找这些相似三角形通常能打开思路。