20.03 导数研究单调性与极值最值

🟦 导数研究单调性与极值最值 (Monotonicity & Extremum)

核心心法

“导数定增减，变号出极值”。导函数 $f^{\prime }(x)$ 的正负是决定原函数 $f(x)$ 升降的唯一准则。在处理复杂函数时，通过通分、因式分解或求二阶导来锁定导数的零点和正负区间；在研究极值时，关注导数在零点两侧是否“穿轴变号”；而最值则是极值与区间端点的全局博弈。

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一、 导数研究单调性

1. 函数单调性与导数值的关系

在某个区间 $(a,b)$ 内：

• $f^{\prime }(x)>0$ $⟹f(x)$ 在该区间内单调递增。
• $f^{\prime }(x)<0$ $⟹f(x)$ 在该区间内单调递减。
• $f^{\prime }(x)=0$ $⟹f(x)$ 在该区间内为常数函数。

2. 求单调区间的注意事项

• 表示方法：多个单调区间用逗号隔开，严禁用“$\cup$”。
• 充要性：若 $f(x)$ 增，则 $f^{\prime }(x)\ge 0$；若 $f(x)$ 减，则 $f^{\prime }(x)\le 0$。
• 变化率特征：$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0⟺f^{\prime }(x)\ge 0$。

3. 讨论单调性的“八步逻辑”

对于含参或复杂函数，遵循以下路径：

1. 定义域先行：注意断点。
2. 通分因式分解：提取定号部分（恒正/负），保留变号部分。
3. 求根做图：观察导函数与 $x$ 轴位置关系。
4. 正负难断看零点：观察 $f^{\prime }(x)=0$ 的解。
5. 复杂求二阶：若一阶导单调性不明，求 $f^{\prime \prime }(x)$。
6. 借助二阶定区间：由 $f^{\prime \prime }(x)$ 正负定 $f^{\prime }(x)$ 增减，进而定 $f^{\prime }(x)$ 符号。

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二、 导数研究极值

1. 极值的定义与判定

• 极小值：$f^{\prime }(a)=0$，左侧 $f^{\prime }(x)<0$（减），右侧 $f^{\prime }(x)>0$（增）。
• 极大值：$f^{\prime }(b)=0$，左侧 $f^{\prime }(x)>0$（增），右侧 $f^{\prime }(x)<0$（减）。

必要不充分条件

$f^{\prime }(x_0)=0$ 是 $x_0$ 为极值点的必要不充分条件。若导数在零点两侧符号不改变（如 $y=x^3$ 在 $x=0$），则该点不是极值点。

2. 列表分析五步法

1. 确定定义域。
2. 求导并因式分解。
3. 解方程 $f^{\prime }(x)=0$。
4. 列表/数轴标注：分析 $f^{\prime }(x)$ 在各区间符号。
5. 确定极值。

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三、 闭区间上的最值

1. 核心理论

如果在闭区间 $[a,b]$ 上函数图象连续，则必有最大值和最小值。

2. 求法步骤

1. 求出 $(a,b)$ 内的所有极值。
2. 将极值与端点值 $f(a),f(b)$ 进行比较。
3. 最大者为最大值，最小者为最小值。

3. 特殊结论

• 单峰性：若区间内只有一个极值点，则该极值点必为最值点。
• 对称性：若 $f(x)$ 关于 $x=a$ 对称且连续，则 $f^{\prime }(a)=0$。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“穿针引线”法在导数中的应用

将导函数分解为 $(x-x_1)(x-x_2)\dots$ 后，利用类似解高次不等式的技巧判断正负，但要注意偶次重根（不穿轴，符号不变）的情况。

端点处的导数

导数定义在开区间 $(a,b)$ 内研究单调性。在讨论极值时，端点绝对不可能成为极值点，但端点可以成为最值点。

含参讨论的分点选择

含参讨论单调性时，分类讨论的标准通常是：

1. 参数导致导函数判别式 $\Delta$ 的符号变化。
2. 导函数根的大小关系（如 $x_1<x_2$ 还是 $x_1>x_2$）。
3. 根是否落在定义域范围内。