21.04 空间向量求距离

🟦 空间向量求距离专题 (Computing Distances)

核心心法

“射影定距离，法向是核心”。在空间向量中，点到直线、点到平面的距离都可以看作是一个向量在另一个参考向量（方向向量或法向量）上的射影长度。掌握了点到平面的距离公式，就掌握了立体几何中所有关于“高”的计算命脉。

---

1. 点 $A,B$ 间的距离

• 公式： $AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$
• 本质：空间两点间位移向量的模。

---

2. 点 $Q$ 到直线 $l$ 的距离

• 设：$Q$ 为线外一点，$P$ 为直线上任一点，$\vec{a}$ 为直线的方向向量，记 $\vec{b}=\overrightarrow{PQ}$。
• 公式： $d=\frac{1}{|\vec{a}|}\sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|{)}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$
• 推导逻辑：利用勾股定理。$d$ 是以 $\vec{b}$ 为斜边，$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的射影为邻边的直角三角形的对边。 $d=|\vec{b}|\sin \theta =|\vec{b}|\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$

---

3. 点 $Q$ 到平面 $\alpha$ 的距离 (核心公式)

• 设：$Q$ 为面外一点，$M$ 为平面内任一点，$\vec{n}$ 为平面的法向量。
• 公式： $d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{MQ}|}{|\vec{n}|}$
• 推导逻辑：点到平面的距离等于向量 $\overrightarrow{MQ}$ 在法向量 $\vec{n}$ 方向上投影的绝对值。

---

4. 线面距离与面面距离的转化

• 直线 $a$ 到平面 $\alpha$ 的距离： 当 $a\parallel \alpha$ 时，直线上各点到平面的距离相等。 转化：在直线上任取一点 $P$，求点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离。
• 两平行平面间的距离： 利用平行平面间距离处处相等的性质。 转化：在其中一个平面内任取一点，求该点到另一个平面的距离（点面距离）。

---

5. 异面直线间的距离

• 设：两异面直线 $l_1,l_2$ 的公垂向量为 $\vec{n}$，$C,D$ 分别是两直线上的任一点。
• 公式： $d=\frac{|\overrightarrow{CD}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$
• 本质：异面直线的距离等于连结两直线上任意两点的向量在公垂方向（法向量）上的投影长度。

---

⚠️ 考场避坑与做题技巧

法向量 $\vec{n}$ 的“单位化”思想

公式 $d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{MQ}|}{|\vec{n}|}$ 也可以写成 $d=|\overrightarrow{MQ}\cdot {\vec{n}}^0|$（其中 ${\vec{n}}^0$ 为单位法向量）。这说明距离只与法向量的方向有关，与长度无关。

点 $M$ 的选择越简单越好

在求点面距离时，平面内的参考点 $M$ 可以是平面内的任意一点。通常选择坐标含零最多的点（如坐标原点或轴上的截距点），能显著减少计算量。

异面直线距离的法向量来源

异面直线的公垂向量 $\vec{n}$ 可以通过解方程组求得：$\vec{n}$ 需同时垂直于两条直线的方向向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$。即： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \vec{u}=0\\ \vec{n}\cdot \vec{v}=0\end{array}$