23.04 二项分布与超几何分布

🟦 二项分布与超几何分布核心考点专题

核心心法

“放回独立二项式，不放组合超几何”。判定模型的关键在于：每一轮抽样是否会改变下一轮的概率。若概率恒定且相互独立，则是二项分布；若样本总量有限且不放回，则是超几何分布。在计算期望时，二项分布的 $np$ 与超几何分布的 $n\cdot \frac{M}{N}$ 在形式上具有高度的统一性（均是次数乘以单次成功的概率）。

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一、 两点分布 (Bernoulli Distribution)

作为所有复杂分布的基石，两点分布描述的是只有两个结果（成功/失败）的单次试验：

$X$	0	1
$P$	$1-p$	$p$

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二、 二项分布 (Binomial Distribution)

1. $n$ 重伯努利试验

• 定义：同一个伯努利试验独立地重复进行 $n$ 次。
• 特征：每次试验结果相互独立，且成功概率 $p$ 保持不变（通常对应“有放回”抽取）。

2. 概念与分布列

若 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数，则 $X\sim B(n,p)$： $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$

3. 期望与方差

• 期望：$E(X)=np$
• 方差：$D(X)=np(1-p)$

期望公式的推导核心

利用组合数恒等式 $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$，将求和式转化为二项式展开的逆过程，最终得到 $np(p+q{)}^{n-1}=np$。

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三、 超几何分布 (Hypergeometric Distribution)

1. 概念 (不放回抽取)

产品总量 $N$，次品量 $M$，不放回抽取 $n$ 件。$X$ 为抽得的次品数： $P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ 其中 $k$ 的范围受限于 $\max \{0,n-N+M\}\le k\le \min \{n,M\}$。

2. 期望与方差

• 期望：$E(X)=\frac{nM}{N}$
• 方差：$D(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$ （注：解答题中不可直接使用）

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四、 深度拓展：类超几何分布 (顺序抽样)

当题目要求“一次一次抽取直到某条件停止”时，考虑顺序：

例题：9球（3红6白），不放回每次取1个，直到取出3个红球停止，求第4次停止的概率。 解析：

• 意味着前3次中恰有2个红球，且第4次必取到红球。
• 计算式：$P=\frac{C_3^2{C}_6^1\cdot A_3^3\cdot C_1^1}{A_9^4}$（或利用组合思想分步计算）。
• 通用策略：将相同球视为不同球，分子分母统一带顺序。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

二项分布与超几何分布的“近似”转化

当产品总量 $N$ 非常大且抽取的样本 $n$ 相对很小时（如 $N>100n$），不放回抽样可以近似看作有放回抽样。此时超几何分布可以用二项分布来近似计算。

计算量的控制

超几何分布的计算涉及大量组合数，容易算错。建议先化简分母 $C_N^n$，利用对称性 $C_n^k=C_n^{n-k}$ 来减小运算压力。

期望的“直觉”检验

无论是 $np$ 还是 $n\cdot \frac{M}{N}$，本质上都是“抽样次数 $\times$ 成功的胜率”。如果算出来的期望值超出了抽样总数 $n$ 或成功总数 $M$，那一定是公式记反了。