01 填-集合

本题导读

本题考查全集与子集的补集运算.通过在数轴上表示连续实数区间，直观判定补集的范围及其端点的开闭性，是上海卷典型的开篇基础题.

📌 【题干】

Question

已知全集 $U=\{x\mid 2⩽x⩽5,x\in \mathbb{R}\}$，集合 $A=\{x\mid 2⩽x<4,x\in \mathbb{R}\}$，则 $\overline{A}=$ ______ .

🔍 【思路分析】

破题导航

本题的核心是求连续实数区间的补集。求解此类问题最直观、最不易出错的方法是借助数轴：

1. 画出全集 $U$：在数轴上标出范围 $[2,5]$.
2. 标出集合 $A$：在同一数轴上标出范围 $[2,4)$.
3. 寻找剩余部分：补集 $\overline{A}$ 即在全集 $U$ 中剔除掉属于集合 $A$ 的部分，观察剩下部分的区间范围.
4. 判定端点开闭：由于 $4\notin A$（开区间），根据补集定义，点 $4$ 必须包含在补集 $\overline{A}$ 中.

✅ 【答案】

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$\{x\mid 4⩽x⩽5\}$（或写成 $[4,5]$）

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 确定全集与子集的区间表示：

• 全集 $U=[2,5]$，包含端点 $2$ 和 $5$.
• 集合 $A=[2,4)$，包含端点 $2$，但不包含端点 $4$.

2. 执行补集运算： 补集 $\overline{A}$ 表示全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素构成的集合.

• 在区间 $[2,5]$ 中“挖去” $[2,4)$.
• 左侧端点：$2\in A$，故 $2\notin \overline{A}$.
• 右侧端点：$4\notin A$，故 $4\in \overline{A}$.
• 剩余部分从 $4$ 开始（闭口）到 $5$ 结束（闭口）.

3. 得出结论： 剩余部分为区间 $[4,5]$. 用集合描述法表示为：$\{x\mid 4⩽x⩽5,x\in \mathbb{R}\}$.

故填：$\{x\mid 4⩽x⩽5\}$（或写成 $[4,5]$）

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 区间表示法：熟练掌握 $(a,b),[a,b],[a,b),(a,b]$ 四种形式及其对应的数轴画法.

2. **核心方法：

• 数轴法**。处理一维连续实数集合的交、并、补运算时，数轴是防错的“定海神针”.

3. 避坑指南：

• 端点开闭准则：求补集时，原集合中的“闭”变“开”，原集合中的“开”变“闭”。本题中 $A$ 在 $4$ 处为开，则 $\overline{A}$ 在 $4$ 处必为闭.
• 符号体系：上海卷习惯使用 $\overline{A}$ 表示补集，这与全国卷常用的 ${\complement }_{U}A$ 含义完全一致.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若 $A\subseteq B\subseteq U$，则 $\overline{B}\subseteq \overline{A}$.
• 德·摩根定律：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$.

2. 方法的推广:

• Venn图法：当集合元素为离散个体或抽象集合关系证明时，使用Venn图比数轴更有效.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

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