05 填-余弦函数的值域

本题导读

本题考查余弦函数在闭区间上的值域. 核心在于判定区间是否包含极值点（波峰或波谷），并通过函数在对称轴两侧的单调性确定最大值与最小值.

📌 【题干】

Question

函数 $y=\cos x$ 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}]$ 上的值域为______ .

🔍 【思路分析】

破题导航

求解三角函数区间值域，关键是观察区间内函数的图象走向：

1. 寻找极值点：余弦函数 $y=\cos x$ 在 $x=0$ 处取得最大值 $1$. 由于 $0\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}]$，故该区间的最大值必然为 $1$.
2. 确定单调性：函数在 $[-\frac{\pi }{2},0]$ 上单调递增，在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上单调递减.
3. 比较端点值：最小值必然在区间的两个端点处产生。计算并比较 $\cos (-\frac{\pi }{2})$ 与 $\cos (\frac{\pi }{4})$ 的大小.
4. 数形结合：画出余弦曲线在对应区间内的简图，直观观察最高点与最低点.

✅ 【答案】

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$[0,1]$

✍ 【详细解析】

Abstract

利用分段单调性与端点比较

1. 确定最大值： 因为 $0\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}]$，且 $\cos 0=1$ 是余弦函数的全局最大值，所以 $y_{\max }=1$.

2. 确定最小值： 计算区间两个端点的函数值：

• 左端点：$\cos (-\frac{\pi }{2})=0$

• 右端点：$\cos (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 通过比较可知，最小值为 $0$.

3. 得出值域： 结合最高点 $(0,1)$ 和最低点 $(-\frac{\pi }{2},0)$，函数在该区间的值域为 $[0,1]$.

故填：$[0,1]$

其他精彩解法

其他精彩解法：

利用偶函数对称性 由于 $y=\cos x$ 是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称. 在区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}]$ 内寻找最小值，等价于寻找离对称轴 $x=0$ 最远的自变量位置. 因为 $|-\frac{\pi }{2}|>|\frac{\pi }{4}|$，所以距离对称轴最远的点是 $x=-\frac{\pi }{2}$. 在该点处取得最小值 $y_{\min }=\cos (-\frac{\pi }{2})=0$. 最大值仍在对称轴 $x=0$ 处取得，$y_{\max }=1$. 故值域为 $[0,1]$.

故填：$[0,1]$

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 正弦函数值域：$y=\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 的值域为 $[0,1]$.

• 周期性：余弦函数周期为 $2\pi$，在不同周期内的局部值域规律相同.

2. 方法总结：

• 核心工具：画图。在草图上标出起点 $-\frac{\pi }{2}$、终点 $\frac{\pi }{4}$ 和波峰点 $0$，可以瞬间锁定最值范围.
• 规律总结：对于 $y=\cos x$，若区间包含 $0,\pm 2\pi \dots$，最大值为 $1$；若包含 $\pm \pi ,\pm 3\pi \dots$，最小值为 $-1$.

3. 避坑指南： 严禁直接代入两个端点求值域。若直接代入会得到 $[0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$，从而漏掉中间的最高点 $1$. 只有当函数在区间内严格单调时，值域才仅由端点决定.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 对于 $y=\sin x$ 在 $[a,b]$ 上的值域，需检查区间是否包含 $\frac{\pi }{2}+k\pi$（最值点）.

2. 方法的推广:

• 单位圆法：在单位圆上画出对应的圆弧长度，观察圆弧上点的纵坐标（对 $\sin$）或横坐标（对 $\cos$）的变化范围.

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• 07.03 三角函数的图象与性质

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