01 单-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算与一元一次不等式的求解，体现了北京卷注重基础概念辨析的特点.

📌 【题干】

Question

已知集合 $M=\{x\mid 2x-1>5\}$，$N=\{1,2,3\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\{1,2,3\}$	B. $\{2,3\}$	C. $\{3\}$	D. $\varnothing$

🔍 【思路分析】

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1. 化简集合 $M$：通过解一元一次不等式 $2x-1>5$，确定集合 $M$ 的元素取值范围.
2. 元素一一校验：根据交集 $M\cap N$ 的定义（既属于 $M$ 又属于 $N$ 的元素），检查集合 $N$ 中的离散元素 $\{1,2,3\}$ 是否落在集合 $M$ 的范围内.
3. 确定最终结果：注意不等号的开闭情况（严格大于），若无公共元素，则结果为空集.

✅ 【答案】

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D

✍ 【详细解析】

Abstract

第一步：求解不等式确定 $M$ 的范围

由 $2x-1>5$ 得： $2x>6$ 解得 $x>3$. 故集合 $M=\{x\mid x>3\}$. 第二步：执行交集运算 已知 $N=\{1,2,3\}$. 比对集合 $N$ 中的元素与 $M$ 的条件（$x>3$）：

• 对于元素 $1$：$1<3$，故 $1\notin M$； 对于元素 $2$：$2<3$，故 $2\notin M$；
• 对于元素 $3$：$3=3$，但不满足严格大于条件 $3>3$（不含端点），故 $3\notin M$. 第三步：得出结论 集合 $N$ 中的所有元素均不满足集合 $M$ 的限制条件. 根据交集定义，$M\cap N=\varnothing$. 故选：D

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：处理集合运算的首要步骤是“化繁为简”，将描述法表示的集合转化为区间或列举法.

• 并集运算：若求 $M\cup N$，结果为 $\{x\mid x>3\text{ 或 }x\in \{1,2\}\}$.
• 子集判定：本题中 $N\cap M=\varnothing$ 说明 $N$ 包含于 $M$ 的补集中，即 $N\subseteq {\complement }_{\mathbb{R}}M$.

2. 易错点（端点虚实）：北京卷常在不等号的“严格性”上设陷阱。本题中 $M$ 不包含 $3$，而 $N$ 包含 $3$，两者交集为空。若误审题为 $2x-1\ge 5$，则会错选 C.
3. 避坑指南：在解不等式移项或缩放时，务必检查系数的正负以确定不等号方向是否需要改变（本题系数 $2>0$，方向不变）.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 对于集合 $A=\{x|x>a\}$ 与离散集合 $B$，若 $\max (B)\le a$，则 $A\cap B=\varnothing$.
• 若将条件改为补集运算，如求 ${\complement }_N(M\cap N)$，在已知交集为空的情况下，结果即为 $N$ 本身.

2. 方法的推广:

• 数轴法：在处理更复杂的连续区间交集（如 $M=\{x|x>3\},N=\{x|1<x<4\}$）时，数轴直观观察重叠部分是最高效的方法.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

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