07 单-充分必要条件

本题导读

本题将函数值域的全集性与函数无界性的定义相结合，考查学生对抽象逻辑语言的转化能力及对函数性质的深刻理解.

📌 【题干】

Question

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则 “函数 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}$” 是 “对任意 $M\in \mathbb{R}$，存在 $x_0\in D$，使得 $|f(x_0)|>M$” 的()

A. $充分不必要条件$	B. $必要不充分条件$	C. $充分必要条件$	D. $既不充分也不必要条件$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 明确命题 $p$：命题 $p$ 为 “函数 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}$”，即 $f(x)$ 可以取遍所有实数.
2. 明确命题 $q$：命题 $q$ 为 “对任意 $M\in \mathbb{R}$，存在 $x_0\in D$，使得 $|f(x_0)|>M$”。这在数学分析中是 函数 $f(x)$ 在定义域 $D$ 上无界 的标准定义.
3. 判定充分性 ($p⟹q$)：如果值域是整个实数集，函数值必然可以无限大或无限小，判断其是否满足无界定义.
4. 判定必要性 ($q⟹p$)：如果函数无界，其值域是否一定必须是整个实数集？通过寻找反例（如指数函数或二次函数）进行验证.

✅ 【答案】

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A

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 充分性判定($p⟹q$) 假设命题 $p$ 成立，即函数 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}$. 对于任意给定的 $M\in \mathbb{R}$，我们总能取到一个正数 $y_1=|M|+1$. 因为值域为 $\mathbb{R}$，所以一定存在 $x_1\in D$，使得 $f(x_1)=y_1$. 此时 $|f(x_1)|=|M|+1>M$. 这完全符合命题 $q$ 的描述，故 充分性成立.
2. 必要性判定 ($q⟹p$) 假设命题 $q$ 成立，即函数 $f(x)$ 在 $D$ 上无界. 考虑反例：$f(x)=e^x$，定义域 $D=\mathbb{R}$.

• 验证命题 $q$：对于任意 $M\in \mathbb{R}$，由于 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$，总能找到足够大的 $x_0$ 使得 $e^{x_0}>|M|$，即 $|f(x_0)|>M$ 成立.
• 检查值域：函数 $f(x)=e^x$ 的值域为 $(0,+\infty )$，并不是 $\mathbb{R}$.
• 其他反例：如 $f(x)=x^2$，其值域为 $[0,+\infty )$，同样满足无界性（命题 $q$），但值域不是 $\mathbb{R}$. 由此可见，命题 $q$ 成立推不出命题 $p$ 成立，故 必要性不成立.

3. 综合结论 “函数 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb{R}$” 是 “函数 $f(x)$ 无界” 的充分不必要条件. 故选：A

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 语言转换：将抽象的符号语言 “$\forall M,\exists x_0,|f(x_0)|>M$” 翻译为形象的数学概念 “函数无界”，是破解此题的关键突破口.

• 有界性定义：若 $\exists M>0,\forall x\in D,|f(x)|\le M$，则称 $f(x)$ 在 $D$ 上有界.

• 连续性与值域：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且无界，这在数学上是不可能的（有界性定理）；但若在开区间或全集上连续且无界，值域也不一定是 $\mathbb{R}$.

2. 方法总结：

• 在判定“必要性”时，指数函数 $y=e^x$ 或二次函数 $y=x^2$ 是处理值域与无界性关系时最常用且有效的工具.

• 定义比对法：在处理充分必要条件时，先将题干中的数学描述转化为标准定义名，再进行逻辑包含关系的判定.

3. 避坑指南：不要把“无界”误解为“值域必须包含正无穷和负无穷”。只要函数值能比任何给定的常数都大（在绝对值意义上），它就是无界的.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 全集值域 $⟹$ 无界：这是一个由整体性质推导局部极端特征的过程.
• 无界 $\ne$ 全集值域：无界只要求函数向某一方向无限延伸（或正或负），不要求覆盖所有中间值或另一个方向.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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