08 单-三角函数w的范围

本题导读

本题将辅助角公式、三角函数的周期性定义与闭区间内的零点存在性判定相结合，考查学生对三角函数图象变换及性质的综合理解能力 .

📌 【题干】

Question

设函数 $f(x)=\sin (\omega x)+\cos (\omega x)$ ($\omega >0$)，若 $f(x+\pi )=f(x)$ 恒成立，且 $f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上存在零点，则 $\omega$ 的最小值为()

A. $8$	B. $6$	C. $4$	D. $3$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 公式化简：利用辅助角公式将 $f(x)$ 合并为正弦型函数 $f(x)=\sqrt{2}\sin (\omega x+\frac{\pi }{4})$,
2. 判定周期约束：由 $f(x+\pi )=f(x)$ 知，$\pi$ 是函数的一个周期（注意：不一定是最小正周期）。根据周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，推导出 $\omega$ 与周期的整数倍关系.
3. 判定零点约束：分析 $x\in [0,\frac{\pi }{4}]$ 时整体相位（初相 + 变相）的取值范围，利用正弦函数零点的性质（相位为 $\pi$ 的整数倍）建立关于 $\omega$ 的不等式.
4. 综合取值：结合周期性带来的“偶数”限制与零点存在的不等式要求，锁定最小值.

✅ 【答案】

点击查看答案

C

✍ 【详细解析】

Abstract

方法：性质分析法（推荐）

1. 函数变形： 利用辅助角公式：$f(x)=\sin (\omega x)+\cos (\omega x)=\sqrt{2}\sin (\omega x+\frac{\pi }{4})$.

2. 分析周期性条件： 已知 $f(x+\pi )=f(x)$ 恒成立，说明 $\pi$ 是函数 $f(x)$ 的周期. 由正弦型函数性质，$\pi$ 必须是最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 的整数倍. 即 $\pi =k\cdot T=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. 解得 $\omega =2k$。这说明 $\omega$ 必须是一个正偶数。由此可排除选项 D.

3. 分析零点存在性条件： 当 $x\in [0,\frac{\pi }{4}]$ 时，整体相位 $t=\omega x+\frac{\pi }{4}$ 的取值范围是： $[\frac{\pi }{4},\frac{\omega \pi }{4}+\frac{\pi }{4}]$. 若 $f(x)$ 在此区间内有零点，则该相位区间必须包含 $\sin t=0$ 的点（即 $n\pi ,n\in \mathbb{Z}$）.

由于 $\omega >0$，相位区间左端点 $\frac{\pi }{4}$ 大于 0 且小于 $\pi$，故在该区间内第一个可能的零点相位只能是 $\pi$.

因此，需满足右端点大于等于 $\pi$： $\frac{\omega \pi }{4}+\frac{\pi }{4}⩾\pi ⟹\frac{\omega +1}{4}⩾1⟹\omega ⩾3$.

4. 综合确定最小值： 综上所述，$\omega$ 需满足：

• $\omega$ 是正偶数；
• $\omega ⩾3$.
• 满足条件的最小正偶数为 4. 故选：C

其他精彩解法一：

**方法：特值排除法（考场提速） 检查 $\omega =3$：此时 $f(x+\pi )$ 的相位增加了 $3\pi$，由于 $\sin (\theta +3\pi )=-\sin \theta$，不满足恒等式，排除 D. 检查 $\omega =4$： 周期性：$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。因为 $\pi =2T$，满足 $f(x+\pi )=f(x)$. 零点：令 $4x+\frac{\pi }{4}=\pi ⟹x=\frac{3\pi }{16}$. 范围：$0<\frac{3\pi }{16}<\frac{4\pi }{16}=\frac{\pi }{4}$，在区间内存在零点. 由于要求最小值，直接锁定 C. 故选：C

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式的结构化变形、周期性通用定义（ $\pi =kT$ ）、整体代换法在区间零点/最值控制中的刚性应用。
2. 核心方法：整体相位夹逼法。处理三角函数在闭区间上的零点、极值点或单调性问题时，最标准、绝不丢分的硬核技术就是直接将括号内的整个相位 $(\omega x+\varphi )$ 视为一个整体。通过自变量区间推导相位的动态区间边界，将问题退化为考查标准正弦曲线在数轴上的投影拦截，方向极度明确。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（误将周期等同于最小正周期）：本题极易犯的原则性错误是直接令 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$。务必明确， $f(x+\pi )=f(x)$ 仅说明 $\pi$ 是它的一个周期，而非最小正周期。如果直接得出 $\omega =2$，由于选项中没有 2，部分同学会盲目选择最接近的 3 或 4，缺乏严密的偶数逻辑推导.
• 避坑指南 2（特值排除法的应用）：作为单选题，本题极其适合用特值法在草稿纸上进行拦截。若 $\omega =3$，解析式为 $\sin (3x)+\cos (3x)$。其周期为 $\frac{2\pi }{3}$，而 $\pi$ 不是 $\frac{2\pi }{3}$ 的整数倍，故 $f(x+\pi )\ne f(x)$，直接干掉 D。代入 $\omega =4$，周期 $T=\frac{\pi }{2}$， $\pi$ 是 $\frac{\pi }{2}$ 的 2 倍，满足周期性；此时相位范围为 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$，区间内完美包含 $\pi$（正弦零点），完美契合，直接锁定 C。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第一册第五章《三角函数》中“三角函数的图象与性质”以及“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象”课后典型习题的升级缝合。北京卷命题组通过引入“非最小正周期”的周期定义陷阱，考查考生对周期概念底层的严密解构力。
2. 结论推广（三角函数在给定截段内包含 $N$ 个零点的通用决策网络）： 为了让您的文献库知识图谱具备最高阶的直觉，我们可以将此类“正弦型函数在初相为 $\frac{\pi }{4}$ 且左端点为 0 的区间 $\left[0,\theta \right]$ 内包含零点”的模型提炼为一个通用的代数控制决策网：

• 设 $f(x)=\mathcal{A}\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$。当 $x\in [0,\theta ]$ 时，相位区间为 $\left[\frac{\pi }{4},\omega \theta +\frac{\pi }{4}\right]$.
• 若要包含第 1 个零点 $\pi$，控制方程为： $\omega \theta +\frac{\pi }{4}\ge \pi ⟹\omega \ge \frac{3\pi }{4\theta }$.
• 若要包含第 $N$ 个零点 $N\pi$，控制方程为： $\omega \theta +\frac{\pi }{4}\ge N\pi ⟹\omega \ge \frac{(4N-1)\pi }{4\theta }$.
• 本题中由于只需包含第一个零点，且 $\theta =\frac{\pi }{4}$，直接套入该高阶网络： $\omega \ge \frac{3\pi }{4\times \frac{\pi }{4}}=3$。结合周期的偶数律，瞬间肉眼锁死答案为 4.

3. 方法推广（从单体函数到复合导数零点拦截前瞻）： 本题所展现的利用区间边界夹逼常数项的思想，是攻克三角函数性质题的定海神针。未来当题目从“简单零点”演变为选择性必修第二册中的“利用导数判定复合三角函数 $y=e^x\sin x$ 零点个数”的压轴综合大题时，其底层的核心逻辑——“如何通过划分核心相位的周期台阶，来实现对局部根的存在性孤立”，其技术本质完全相通。将这一套整体代换的流程化为本能，是确保客观题达成“零失误”的刚性底层技术铠甲。

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.05 三角函数中参数w的范围 类题演练 (Links)
• 专题合集 (Series)

📂 【管理档案】

索引与状态

• 工序状态：
• 资产预留：