11 填-抛物线的几何性质

本题导读

本题考查抛物线标准方程的基本几何量关系，重点在于理解参数 $p$ 与顶点、焦点距离之间的对应关系，属于填空题的入门基础题.

📌 【题干】

Question

抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 的顶点到焦点的距离为$3$，则 $p=$ ______ .

🔍 【思路分析】

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1. 识别标准方程：方程 $y^2=2px$ 表示开口向右的抛物线，其对称轴为 $x$ 轴.
2. 确定关键点坐标：

• 顶点 $O$ 坐标为 $(0,0)$.
• 根据抛物线定义，焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{p}{2},0)$.

3. 建立距离等式：顶点到焦点的距离即为线段 $OF$ 的长度.
4. 求解参数：利用已知距离 3 建立方程 $\frac{p}{2}=3$，解出 $p$.

✅ 【答案】

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6

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 确定几何特征： 对于抛物线 $C:y^2=2px$ ($p>0$)：

• 顶点 $O$ 位于原点 $(0,0)$；
• 其焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{p}{2},0)$

2. 建立距离方程： 顶点到焦点的距离即为线段 $OF$ 的长度： $|OF|=\sqrt{(\frac{p}{2}-0{)}^2+(0-0{)}^2}=\frac{p}{2}$.

3. 代入已知条件求解：题目给定该距离为 3，故有： $\frac{p}{2}=3$,解得：$p=6$. 故填：6

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 抛物线的准线：本题中准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-3$.
• 通径长：过焦点垂直于对称轴的弦长，其值为 $2p=12$.
• 核心几何意义：熟记抛物线参数 $p$ 的物理含义：

  • $p$ 是焦点到准线的距离.

  • 顶点到焦点的距离为 $\frac{p}{2}$.

  • 顶点到准线的距离也为 $\frac{p}{2}$.

2. 方法总结：

• 北京卷填空题开篇通常考查对圆锥曲线定义的直接应用.此类题目不需要复杂的联立方程，只要基本概念清晰即可快速得出答案.

• 定义法：在涉及抛物线上的点到焦点距离（焦半径）的问题时，优先利用定义转化为点到准线的距离.

3. 避坑指南：不要混淆焦点坐标与 $p$ 的关系。在 $y^2=2px$ 中，焦点坐标含有分母 2.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

结论的推广:

• 对于任何标准位置的抛物线（无论开口方向），其顶点到焦点的距离恒为 $\frac{|p|}{2}$.

🔗 【关联脉络】

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