19 解-椭圆综合

本题导读

本题是解析几何的综合大题。第一问考查椭圆标准方程的定值求解；第二问通过构造椭圆的切线模型，考查点在线上、线在面上的坐标运算，并要求证明面积比与长度比的相等关系.

📌 【题干】

Question

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆上的点到两焦点距离之和为 4.

（1）求椭圆 $E$ 的方程；

（2）设 $O$ 为原点，$M(x_0,y_0)$ ($x_0\ne 0$) 为椭圆上一点，直线 $x_{0}x+2y_{0}y-4=0$ 与直线 $y=2$，$y=-2$ 分别交于 $A,B$ 两点.

$△OAM$ 与 $△OBM$ 的面积记为 $S_1,S_2$，比较 $\frac{S_1}{S_2}$ 与 $\frac{|OA|}{|OB|}$ 的大小.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求方程）：根据椭圆定义，距离之和 $2a=4$，结合离心率 $e=c/a$ 求出 $c$，再由 $b^2=a^2-c^2$ 确定 $b$.

2. 第二问（比例判定）：

• 识别直线性质：通过观察发现直线 $x_{0}x+2y_{0}y-4=0$ 实际上是椭圆在点 $M$ 处的切线.
• 坐标化计算：联立切线方程与 $y=\pm 2$ 求出点 $A,B$ 的坐标.
• 面积转化： 由于 $A,M,B$ 三点共线，$△OAM$ 与 $△OBM$ 共顶点 $O$，面积比等于底边之比，即 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{|AM|}{|BM|}$.
• 恒等变形：利用点 $M$ 在椭圆上满足的方程 $x_0^2+2y_0^2=4$ 进行代换消元，最终比对两个比例式的代数形式.

✍ 【详细解析】

（1）第一问详解

最优解法：

**（1）求椭圆 $E$ 的方

1. 由定义确定 $a$： 椭圆上的点到两焦点距离之和为 $2a=4$，故 $a=2$.
2. 由离心率确定 $c$： $e=\frac{c}{a}=\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹c=\sqrt{2}$.
3. 计算参数 $b$： $b^2=a^2-c^2=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$. 故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$.

(2) 第(i)问详解

最优解法

**（2）比较 $\frac{S_1}{S_2}$ 与 $\frac{|OA|}{|OB|}$ 的大小 1. 确定点 $M$ 的性质： 已知 $M(x_0,y_0)$ 在椭圆上，则 $\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{2}=1⟹x_0^2+2y_0^2=4$.

直线 $l:x_{0}x+2y_{0}y-4=0$ 对应点 $M$ 处的切线.

2. 求解交点 $A,B$ 的坐标： 联立 $l$ 与 $y=2$：$x_{0}x+4y_0-4=0⟹x_A=\frac{4(1-y_0)}{x_0}$.故 $A(\frac{4(1-y_0)}{x_0},2)$.

联立 $l$ 与 $y=-2$：$x_{0}x-4y_0-4=0⟹x_B=\frac{4(1+y_0)}{x_0}$. 故 $B(\frac{4(1+y_0)}{x_0},-2)$.

3. 计算面积比 $\frac{S_1}{S_2}$： 由共线性质：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|AM|}{|BM|}=\frac{|x_A-x_0|}{|x_B-x_0|}=\frac{|4-4y_0-x_0^2|}{|4+4y_0-x_0^2|}$.

代入 $x_0^2=4-2y_0^2$： $\frac{S_1}{S_2}=\frac{|2y_0^2-4y_0|}{|2y_0^2+4y_0|}=\frac{|y_0-2|}{|y_0+2|}$.

由于 $-\sqrt{2}\le y_0\le \sqrt{2}$，故 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2-y_0}{2+y_0}$.

4. 计算长度比 $\frac{|OA|}{|OB|}$： $\frac{|OA{|}^2}{|OB{|}^2}=\frac{x_A^2+4}{x_B^2+4}=\frac{16(1-y_0{)}^2+4x_0^2}{16(1+y_0{)}^2+4x_0^2}$. 代入 $x_0^2=4-2y_0^2$ 并化简：

$\frac{|OA{|}^2}{|OB{|}^2}=\frac{16-32y_0+16y_0^2+16-8y_0^2}{16+32y_0+16y_0^2+16-8y_0^2}=\frac{8y_0^2-32y_0+32}{8y_0^2+32y_0+32}=\frac{(y_0-2{)}^2}{(y_0+2{)}^2}$.

开方得 $\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{2-y_0}{2+y_0}$.

5. 结论：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|OA|}{|OB|}$。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆长短轴标准方程待定、共线三角形面积向线段比例的等价平移、利用曲线方程 $x_0^2=4-2y_0^2$ 进行非线性消元、完全平方式的代数提取。
2. 核心方法：线段比例投影法（几何化简特技）。 解析几何压轴大题最忌讳的是直接用纯代数去硬啃。如果本题在第二步盲目套用 $\frac{1}{2}\cdot |OA|\cdot |OM|\cdot \sin \angle AOM$ 这种面积公式，会引入无法化解的夹角因式。本题演示的**“共线底边面积转化法”**，直接将二维的面积比降维坍塌为一维 $y$ 轴上的单变量坐标差之比，这是解析几何高段位选手在考场上面对高负载计算时的通用防御铠甲。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（求解 $x_A,x_B$ 时漏掉常数项）：在由 $x_{0}x+2y_0(2)-4=0$ 解 $x$ 时，记得把常数 4 移项变号。很多考生由于急躁算成 $\frac{-4y_0}{x_0}$，导致后面的完全平方项彻底无法配方.
• 避坑指南 2（忽视分母不为 0 的边界核对）：化简过程中约去了 $(2-y_0^2)$。作为解答题压轴，应在心中或草稿纸上复核：若 $2-y_0^2=0⟹y_0^2=2$，代入椭圆方程会得到 $x_0=0$，这与题干给出的 $x_0\ne 0$ 强力冲突。因此分母项绝对合法，可以放心约去。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中“直线与椭圆的位置关系”压轴探讨板块。北京卷命题组通过引入两条水平对称截线 $y=\pm 2$，将经典的“极线与切线对称性”包装成了一道表面上考查面积和模长比、底层考查**“曲线特征多项式同构对冲”**的纯正原味解析几何压轴神作。
2. 结论推广（特征水平割线下的“调和交比”二级网络）： 为了让您的文献库知识图谱具备最高阶的直觉，我们可以从更高维的射影几何视角来揭示本题的隐形背景.

• 在高阶曲线几何中，直线 $x_{0}x+2y_{0}y-4=0$ 实际上是椭圆关于点 $M(x_0,y_0)$ 在某种膨胀系数下的极线（Polar Line 变体.
• 由于两条直线 $y=2$ 和 $y=-2$ 恰好切于椭圆的上、下顶点（当重新缩放空间时），这类几何构型在原点、交点与动点之间存在着极其严密的 “调和比例（Harmonic Ratio）”。
• 这种射影对称性决定了：线段的投影比例与原点发出的射线向量模长之间，天然存在着平方级的同构咬合。
• 将这一“射影调和网络”收录到知识图谱中，未来在任何模拟卷上只要看到形如 “椭圆动点产生特征直线与上下（或左右）对称切线相交围成三角形”，其面积比、线段比、向量夹角正弦比往往都具有严格相等或成固定常数比的至高规律，能让您在考场上拥有降维审视的底气。

3. 方法推广（从单变量配方到多变量联立的通达防线）： 本题所展现的利用完全平方因式（如 $4y_0^2-16y_0+16=4(y_0-2{)}^2$ ）进行根式消除的技术，是圆锥曲线解答题的核心保分底座。未来当题目变异为更复杂的斜交动弦（如“求椭圆动弦与渐近线围成的平行四边形面积范围”），其底层的代数重组技术——“将几何特征完全坐标化，通过提取公因式和二次方程配方消除根式”，其操作本质与本题完全合流。内化这一套化简流，是攻克高考最后两道高分大题最坚固的铠甲.

🔗【关联脉络】

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• 18.01 椭圆专题全总结

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