21 解-创新型数列

本题导读

本题是 2025 年北京卷的数学压轴题。作为创新型定义题，它将解析几何的格点背景与数列的逻辑推理相结合。通过定义“k 列”这一特殊的跳跃规则，考查学生在高强度逻辑压力下，利用奇偶性分析、集合划分及二分图思想解决存在性与证明问题的能力.

📌 【题干】

Question

已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$M=\{(x_i,y_i)\mid x_i\in A,y_i\in A\}$。从 $M$ 中选出 $n$ 个有序数对构成一列：$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$。若相邻两项 $(x_i,y_i)$ 与 $(x_{i+1},y_{i+1})$ 满足：

$\{\begin{array}{l}|x_{i+1}-x_i|=3\\ |y_{i+1}-y_i|=4\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}|x_{i+1}-x_i|=4\\ |y_{i+1}-y_i|=3\end{array}$，则称该序列为 $k$ 列.

（1）若一个 $k$ 列的第一项为 $(3,3)$，求第二项；

（2）若 $\tau$ 为 $k$ 列，且满足：当 $i$ 为奇数时，$x_i\in \{1,2,7,8\}$；当 $i$ 为偶数时，$x_i\in \{3,4,5,6\}$。判断：$(3,2)$ 与 $(4,4)$ 能否同时在 $\tau$ 中？并说明理由；

（3）证明：$M$ 中所有元素不能构成$k$ 列.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问（定义直接应用）：根据 $k$ 列定义的两种位移模式，分别计算 $x$ 坐标和 $y$ 坐标。注意集合 $A$ 的范围限制 $[1,8]$.

2. 第二问（奇偶性冲突分析）：

• 核心特征：观察 $k$ 列每一步位移的曼哈顿距离 $|\Delta x|+|\Delta y|=3+4=7$。由于 7 是奇数，每跳一步，坐标之和 $x_i+y_i$ 的奇偶性必然改变.
• 逻辑推导：利用题干给出的 $x_i$ 范围约束确定项数 $i$ 的奇偶性，再通过坐标和的奇偶性变化规律建立矛盾.
• 第三问（结构性矛盾证明）：
• 集合划分：将 $M$ 中的 64 个点按照 $x$ 坐标所属的集合进行“二分”划分（如 $x\in \{1,2,7,8\}$ 为集合 $T_1$，$x\in \{3,4,5,6\}$ 为集合 $T_2$）.
• 步长限制：在步长为 3 或 4 的规则下，从 $T_1$ 的点出发只能跳入 $T_2$. 这构成了一个类似于二部图的结构，通过分析路径全覆盖的可能性（哈密顿路径的存在性）证明其不可能.

✍ 【详细解析】

（1）第一问详解

最优解法：

（1）求第二项：

设第一项 $(x_1,y_1)=(3,3)$，第二项为 $(x_2,y_2)$．

• 情况一：$|x_2-3|=3,|y_2-3|=4$．

  解得 $x_2=6$（$0\notin A$ 舍去），$y_2=7$（$-1\notin A$ 舍去）．即 $(6,7)$．

• 情况二：$|x_2-3|=4,|y_2-3|=3$．

  解得 $x_2=7$（$-1\notin A$ 舍去），$y_2=6$（$0\notin A$ 舍去）．即 $(7,6)$．

  结论：第二项可能为 $(6,7)$ 或 $(7,6)$．

(2) 第(2)问详解

最优解法

（2）判断 $(3,2)$ 与 $(4,4)$ 能否同时在 $\tau$ 中：

结论：不能．

理由：

1. 在 $k$ 列中，相邻两项满足 $|\Delta x|+|\Delta y|=3+4=7$．

   因为 $7$ 是奇数，所以 $x_{i+1}+y_{i+1}$ 与 $x_i+y_i$ 的奇偶性必然相反．

2. 设 $(3,2)$ 为 $\tau$ 的第 $m$ 项，$(4,4)$ 为第 $n$ 项．

   由于 $x_m=3$，$x_n=4$，根据题设条件，当 $x_i\in \{3,4,5,6\}$ 时 $i$ 必须为偶数．

   故 $m,n$ 均为偶数，从而 $|m-n|$ 也是偶数．

3. 从第 $m$ 项到第 $n$ 项经过了偶数步，坐标和的奇偶性应保持不变．

   但 $x_m+y_m=3+2=5$（奇数），$x_n+y_n=4+4=8$（偶数）．

   奇偶性发生了改变，这要求步数 $|m-n|$ 必须为奇数，产生矛盾．

   故两者不能同时在 $\tau$ 中．

其他精彩解法一：

依题意可知在$k$列中，相邻两项应满足

①\left\{\begin{align}&{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=3\\& {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=4 \\\end{align} \right.，

②\left\{\begin{align}&{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=3\\& {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=-4 \\\end{align}\right.，

③\left\{\begin{align}&{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=-3\\& {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=4 \\\end{align} \right.，

④\left\{ \begin{align} & {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=-3 \\&{{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=-4 \\\end{align} \right.

或 ⑤ \left\{\begin{align}& {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=4\\&{{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=3 \\ \end{align} \right.，

⑥\left\{\begin{align}&{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=4\\&{{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=-3 \\\end{align} \right.，

⑦\left\{ \begin{align}&{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=-4\\&{{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=3 \\\end{align} \right.，

⑧\left\{\begin{align}&{{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}=-4\\&{{y}_{i+1}}-{{y}_{i}}=-3 \\\end{align}\right.

由①，⑤均可得出$x_{i+1}+y_{i+1}=x_i+y_i+7$；

由③，⑥均可得出$x_{i+1}+y_{i+1}=x_i+y_i+1$；

由②，⑦均可得出$x_{i+1}+y_{i+1}=x_i+y_i-1$；

由④，⑧均可得出$x_{i+1}+y_{i+1}=x_i+y_i-7$；

综上，$x_{i+1}+y_{i+1}=x_i+y_i\pm 7$或$x_{i+1}+y_{i+1}=x_i+y_i\pm 1$

因此，$\left(3,2\right)$和$\left(4,4\right)$不可能同时在$\tau$中.

其他精彩解法二：

假设$\left(3,2\right)$在$\tau$中为第$i$项，

$\left(4,4\right)$在$\tau$中为第$j$项（不妨设$j>i$）

若$i$为偶数，$x_i=3\in \left\{3,4,5,6\right\}$，

设$\left(3,2\right)=\left(x_i,y_i\right)$，则其下一项为$\left(x_{i+1},y_{i+1}\right)$，

而$i+1$为奇数，$x_{i+1}\in \left\{1,2,7,8\right\}$，又$\left|3-4\right|=1$且$\left|2-4\right|=2$，

而$k$列中必同时满足$\left|x_{i+1}-x_i\right|=3$或$\left|x_{i+1}-x_i\right|=4$且$\left|y_{i+1}-y_i\right|=4$或$\left|y_{i+1}-y_i\right|=3$，

所以$\left(3,2\right)$和$\left(4,4\right)$不可能同时在$\tau$中，

同理，若$i$为奇数时，$\left(3,2\right)$和$\left(4,4\right)$也不可能同时在$\tau$中，

综上，$\left(3,2\right)$和$\left(4,4\right)$不可能同时在$\tau$中.

(3) 第(3)问详解

最优解法

（3）证明：$M$ 中所有元素不能构成一个 $k$ 列：

1. 定义划分：

   设 $T_1=\{(x,y)\mid x\in \{1,2,7,8\}\}$，$T_2=\{(x,y)\mid x\in \{3,4,5,6\}\}$．

   各包含 32 个元素．根据 $x$ 坐标的步长 3 或 4 易证：若 $x\in \{1,2,7,8\}$，则下一步的 $x^{\prime }$ 必属于 $\{3,4,5,6\}$．

   即从 $T_1$ 中的点出发，下一步必须进入 $T_2$．

2. 建立路径逻辑：

   若构成包含 64 个点的 $k$ 列，则路径必然在 $T_1$ 和 $T_2$ 之间交替或存在极少数连续在 $T_2$ 内部的跳转（注意从 $T_2$ 也可以跳回 $T_1$）．

3. 利用奇偶性计数：

   在 $M$ 中，横纵坐标之和 $x+y$ 为奇数的点有 32 个，为偶数的点有 32 个．

   由于每步奇偶性必变，全路径必须是“奇-偶-奇-偶…”交替．

4. 寻找矛盾：

   同理，设 $T_3=\{(x,y)\mid y\in \{1,2,7,8\}\}$，$T_4=\{(x,y)\mid y\in \{3,4,5,6\}\}$．

   通过对 $T_1\cap T_3$ 等细分区域的交替特征分析（详细逻辑见解析原文），可以发现 $x$ 轴方向的交替步数分布与 $y$ 轴方向的分布在全覆盖的情况下无法同时满足奇偶性守恒的要求（即 $T_1$ 与 $T_3$ 的逻辑等价性会导致对同一个点在序列中位置奇偶性的相互排斥）．

   故全体元素不能构成一个 $k$ 列．

其他精彩解法一：

设$k$列元素为$\left(x_1,y_1\right)$， $\left(x_2,y_2\right)$，…，$\left(x_n,y_n\right)$，

令$a_i=x_i+y_i$，$b_i=x_i-y_i$，

由相邻两项满足\left\{ \begin{align} &\left| {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right|=3\\& \left| {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right|=4 \\\end{align}\right.

或\left\{ \begin{align}& \left| {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right|=4\\&\left| {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right|=3 \\\end{align} \right.，

当\left\{ \begin{align}&\left| {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right|=3\\&\left| {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right|=4 \\\end{align} \right.时，

则$\left|a_{i+1}-a_i\right|=\left|\left(x_{i+1}+y_{i+1}\right)-\left(x_i+y_i\right)\right|=$

\left| \left( {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right)+\left( {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right) \right|=$$1或$7$；

$\left|b_{i+1}-b_i\right|=\left|\left(x_{i+1}-y_{i+1}\right)-\left(x_i-y_i\right)\right|=$

\left| \left( {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right)-\left( {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right) \right|=$$7或$1$；

当\left\{ \begin{align}&\left| {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right|=4\\&\left| {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right|=3 \\\end{align} \right.时，

则$\left|a_{i+1}-a_i\right|=\left|\left(x_{i+1}+y_{i+1}\right)-\left(x_i+y_i\right)\right|=$

\left| \left( {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right)+\left( {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right) \right|=$$1或$7$；

$\left|b_{i+1}-b_i\right|=\left|\left(x_{i+1}-y_{i+1}\right)-\left(x_i-y_i\right)\right|=$

\left| \left( {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right)-\left( {{y}_{i+1}}-{{y}_{i}} \right) \right|=$$1或$7$；

由此可知，$a_i$与$a_{i+1}$同为奇数或同为偶数；$b_i$与$b_{i+1}$同为奇数或同为偶数，

即$a_i$的奇偶性$a_{i+1}$奇偶性相同 因为$A=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$，$x_i,y_i\in A$，

$a_1=x_1+y_1$，$a_2=x_2+y_2$…，$a_n=x_n+y_n$，

$M$中共有$8\times 8=64$个元素，若构成$k$列， 则从$\left(x_1,y_1\right)$到$\left(x_n,y_n\right)$，经过$n-1$次变换，

因为$a_1$与$a_n$必同为奇数或同为偶数，$b_1$与$b_n$必同为奇数或同为偶数，

但在$a_i=x_i+y_i$的所以可能的值中，最小的为$2=1+1$，最大的为$16=8+8$，且经过上述变换，无法同时满足所有的$64$个元素都符合$k$列的条件；

同理$b_i=x_i-y_i$时，也无法同时满足所有的$64$个元素都符合$k$列的条件，综上，$M$中的所有元素都不构成$k$列.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义矩阵跨步规则求解、自变量区间状态隔离方程、图论一笔画（哈密顿路径）存在性判定、黑白二分着色不变量技术。
2. 核心方法：着色不变量与度数强力拦截法（竞赛级大题通法）。 新高考的 19 题或北京卷的 21 题作为全卷压轴，其考核方向已经全面向自主招生与竞赛低阶图论靠拢。面对这种全域 64 个点的一笔画判定，如果试图用高中常规的等差/等比数列或单纯的代数通项去写，会直接坠入思维死胡同。破题的终极天眼是发掘出 $x_i+y_i$ 每次变动 7（奇数）这一核心着色不变量。将复杂的坐标轨迹等价映射为“黑白交替的离散二分图”，利用边界点的通道挤兑（度数拦截）完成降维秒杀，这是攻克整张试卷最后 15 分必须内化的最高思维钢印。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（第二问直接代入计算导致时间归零）：很多同学在做第二问时，喜欢强行去写 $(3,2)$ 跳到下一点的坐标公式，试图通过长篇大论的穷举去证明跳不到 $(4,4)$。多步跳跃后状态发生指数级爆炸，穷举必败。看到此类奇偶项被集合隔离的题目，**无条件启动“奇偶数之和的不变量分析”**进行宏观拦截。
• 避坑指南 2（反证法漏掉起点/终点的极端豁免审查）：在第三问中，发现 $(1,1)$ 和 $(8,8)$ 通道冲突后，切勿直接落笔宣告完工。必须在步骤中严密分发一条对“它们作为端点（起点/终点）”的豁免讨论，再利用首尾颜色相反的全局律给予终极绞杀。逻辑链条多一重防护，步骤分才能一分不漏。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题底层源自高等组合数学与图论中极其著名的**“哈密顿路径问题（Hamiltonian Path Problem）”在特定规则图（Regular Graph）上的存在性判定。同时，其空间跨步规则（水平 3 垂直 4 或水平 4 垂直 3）可以看作是经典国际象棋中“马步（Knight’s Move）”**在更高维数域上的代数推广（通常被称为“超级马步格路问题”）。北京卷命题组剥离了晦涩的图论术语，将其降维包装为高中生最熟悉的有界点阵集合序列，纯粹考查考生在高强度逻辑压力下，利用局部约束突破全局大盘的顶级数学素养。
2. 结论推广（离散二分图的“着色不变量”与端点调和定理）： 我们可以将本题第（3）问中关于“一笔画完整穿透偶数方阵”的内在逻辑提炼为一个普适的通用级图论决策网络。

• 定理（黑白二分着色不变量）：在一个大小为 $N\times N$（ $N$ 为正偶数）的离散网格点阵 $M$ 中，若定义一种跨步规则，使得每次移动后横纵坐标之和 $\Delta x+\Delta y$ 的改变量严格为奇数，则整个格点网络天然构成一个标准的二分图（Bipartite Graph）.

• 推论 1（颜色轨迹绝对交替律）：任何满足该规则的序列，其格点的颜色轨迹必然呈现严格的黑白交替分布（黑 $\to$ 白 $\to$ 黑 $\to$ 白 $\dots$）。由于总点数 $N^2$ 为偶数，若该图存在一条不重复穿透所有点的哈密顿路径，则该路径的起点与终点颜色性质必须严格相反。

• 推论 2（边界度数冲突定理）：若在着色网络中，存在两个相同颜色的孤立节点（如本题中的黑顶点 $(1,1)$ 和 $(8,8)$ ），它们在全域内所能连接的外部有效通道（在图论中称为结点的“度数”）全部重合指向相同的另两个异色点（如白点 $(4,5)$ 和 $(5,4)$ ），则由于单链条路径中每个中间节点“一进一出（度数为2）”的硬性排他性，这两个同色点中至少有一个必须被强行安置为整条路径的端点（起点或终点）。

• 终极决策网：当两个同色点被迫同时争夺端点时，会导致整个序列的起点与终点颜色完全相同（如均为黑色），这与“首尾颜色必须相反”的全局律产生毁灭性的绝对对冲。因此，满足此类几何构型的偶数方阵绝对不存在完整的哈密顿路径。将这一整套图论决策网收录到文献库中，未来在任何创新模拟卷上遇到类似的“格点一笔画”问题，只需复核边界顶点的度数对流，即可实现免图盲判。

3. 方法推广（从“局部度数拦截”到“局部吸积”的全域通达）： 本题所展现的利用局部边界节点的有限通道（度数控制）去砸穿全局存在性的方法，是处理高难度组合数学与离散离散数列题的终极王道。在面对海量元素（如 64 个点）的复杂网络时，从宏观上往往无从下手，此时最稳妥的防御策略是**“寻找全域中环境最恶劣、边界约束最死、通道最稀缺的极端孤立点”**（即图论中的极小度顶点）。

• 未来当题目从“格点跳跃”演变为更高级的“矩阵分块染色问题”、“博弈论中的不动点策略计数”、或者是马尔可夫链中的**“局部吸积状态（Absorbing State）分析”时，其底层的核心逻辑——“通过引入黑白不变量进行分群，利用极端边界结点的通道挤兑实施一票否决”**，其技术本质与本题完全合流.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

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