02 单-常用逻辑用语

本题导读

本题考查充分必要条件的判定.通过分析给定数值与三角方程解集之间的包含关系，判断命题间的逻辑推导方向，是天津卷逻辑用语板块的常考基础题.

📌 【题干】

Question

设 $x\in \mathbb{R}$，则 “$x=0$” 是 “$\sin 2x=0$” 的()

A. $充分不必要条件$	B. $必要而不充分条件$	C. $充要条件$	D. $既不充分也不必要条件$

🔍 【思路分析】

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判定充分必要条件的核心在于判断命题间的推导关系：

1. 分析充分性 ($p\Rightarrow q$)：若 $x=0$ 成立，代入 $\sin 2x$ 检查等式是否成立.
2. 分析必要性 ($q\Rightarrow p$)：若 $\sin 2x=0$ 成立，解出 $x$ 的所有可能取值，判断是否能唯一推出 $x=0$.
3. 综合结论：根据推导箭头的指向确定最终逻辑关系.

✅ 【答案】

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A

✍ 【详细解析】

Abstract

**1.判定充分性 ($p\Rightarrow q$) 已知 $x=0$,将 $x=0$ 代入表达式 $\sin 2x$： $\sin (2\times 0)=\sin 0=0$. 结论 $\sin 2x=0$ 成立. 故 充分性成立.

**2. 判定必要性 ($q\Rightarrow p$) 已知 $\sin 2x=0$. 根据正弦函数的性质，当 $\sin \theta =0$ 时，$\theta =k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). 因此，$2x=k\pi ⟹x=\frac{k\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$). 这意味着 $x$ 的解集为 $\{\dots ,-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\dots \}$. 当 $k=1$ 时，$x=\frac{\pi }{2}$，此时满足 $\sin 2x=0$，但无法推出 $x=0$. 故 必要性不成立.

3.总结逻辑关系 由于 $x=0\Rightarrow \sin 2x=0$ 成立，但 $\sin 2x=0\Rightarrow x=0$ 不成立. 根据定义，“$x=0$” 是 “$\sin 2x=0$” 的充分不必要条件**. 故选：A

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 充要条件：$p⟺q$.

• 既不充分也不必要条件：$p\nRightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$.

2. 方法总结：

• 设命题 $p$ 对应的集合为 $P$，命题 $q$ 对应的集合为 $Q$.

• 若 $P⊊Q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件.

• 本题中 $P=\{0\}$，$Q=\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\}$，显然 $P⊊Q$.

3. 避坑指南：

• 反例意识：在判断必要性时，只要能找到一个属于 $Q$ 但不属于 $P$ 的元素（如 $x=\frac{\pi }{2}$），即可断定必要性不成立.
• 充分：有它就行（$p\Rightarrow q$）.
• 必要：没它不行（$q\Rightarrow p$）.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若将条件改为 “$\sin x=0$”，由于其解集为 $\{k\pi \}$，同样是 “$x=0$” 的必要不充分条件.

2. 方法的推广:

• 图像法：画出 $y=\sin 2x$ 的图像，观察函数与 $x$ 轴的交点。若交点不止原点一个，则 $x=0$ 不是必要条件.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)
• 专题合集 (Series)

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