05 单-正态分布

本题导读

本题考查统计学中的基础概念，重点在于正态分布的对称性质以及线性相关系数 $r$ 的几何意义. 要求考生准确理解正态分布在均值处的概率分布特点，是天津卷概率统计板块的常规基础辨析题 .

📌 【题干】

Question

下列说法中错误的是 ()

A. 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(X⩽\mu -\sigma )=P(X⩾\mu +\sigma )$	B. 若 $X\sim N(1,2^2)$，$Y\sim N(2,2^2)$，则 $P(X<1)<P(Y<2)$	C. $|r|$ 越接近 1,相关性越强	D. $|r|$ 越接近 0，相关性越弱

🔍 【思路分析】

破题导航

本题通过四个选项考查统计学核心概念的准确性：

1. 选项 A：利用正态分布曲线关于 $x=\mu$ 对称的几何性质进行判定.
2. 选项 B：考查正态分布中“均值平分概率”的原则，即 $P(X<\mu )=0.5$ 是否受参数变化影响.
3. 选项 C、D：考查线性相关系数 $r$ 的绝对值大小与变量间相关强度正相关的定义.

✅ 【答案】

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B

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 选项 A 判定： 已知 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，正态分布曲线关于直线 $x=\mu$ 对称.

根据对称性，距离均值 $\mu$ 相同距离的左右两侧区间的概率相等，即：$P(X⩽\mu -a)=P(X⩾\mu +a)$. 令 $a=\sigma$，得 $P(X⩽\mu -\sigma )=P(X⩾\mu +\sigma )$. 故 A 说法正确.

2. 选项 B 判定： 对于 $X\sim N(1,2^2)$，均值 ${\mu }_1=1$，根据对称性，$P(X<{\mu }_1)=P(X<1)=\frac{1}{2}$. 对于 $Y\sim N(2,2^2)$，均值 ${\mu }_2=2$，根据对称性，$P(Y<{\mu }_2)=P(Y<2)=\frac{1}{2}$. 因此，$P(X<1)=P(Y<2)=0.5$. 选项中指出 $P(X<1)<P(Y<2)$ 是错误的. 故 B 说法错误.

3.选项 C、D 判定： 相关系数 $r$ 的取值范围为 $[-1,1]$.

• 当 $|r|$ 越接近 1 时，表示两个变量之间的线性相关程度越强.
• 当 $|r|$ 越接近 0 时，表示两个变量之间的线性相关程度越弱. 故 C、D 说法正确

综上，故选： B

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 回归直线：必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$.

• 决定系数 $R^2$：反映回归模型对数据的拟合程度，$R^2$ 越大拟合越好.

2. 方法总结：

• 正态分布的“一半”原则：对于 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，恒有 $P(X<\mu )=P(X>\mu )=0.5$.

• 相关系数的二重性：

符号：决定正相关（$r>0$）或负相关（$r<0$）. 绝对值：决定相关强度。

3. 避坑指南： 在做 B 选项时，不要被不同的 $\mu$ 或 $\sigma$ 干扰. 正态分布的形状可能变“胖”或变“瘦”，位置可能左右移动，但均值线永远将总面积一分为二.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 正态分布的“$3\sigma$ 原则”：$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.6827$.

2. 方法的推广:

• 标准化法：将一般正态分布转化为标准正态分布 $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，此时 $P(X<\mu )=P(Z<0)=\Phi (0)=0.5$.

🔗 【关联脉络】

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• 23.05 正态分布 类题演练 (Links)
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