18 解-椭圆综合

本题导读

本题是椭圆与直线的综合大题。第一问考查通过离心率、斜率及三角形面积确定椭圆标准方程；第二问考查直线与椭圆相切的性质，并利用三角恒等变换证明角平分线关系，综合性强.

📌 【题干】

Question

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$，$P$ 为直线 $x=a$ 上一点，且直线 $PF$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$，$△PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$（异于点 $A$），求证：$PF$ 平分 $\angle AFB$.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 建立 $a,c$ 关系。结合点 $P$ 在准线（或特定直线）上的位置及斜率 $k_{PF}$，用 $c$ 表示出 $P$ 点坐标。最后利用面积公式 $S=\frac{1}{2}bh$ 锁定 $c$ 的值，从而得到方程.
2. 第二问：

• 求切点 $B$：直线与椭圆有“唯一交点”即相切。利用过椭圆外一点 $P$ 的切点弦性质或切线方程 $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$ 求出点 $B$ 坐标.
• 证明平分：计算直线 $FA,FB,FP$ 的斜率。利用正切二倍角公式 $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$ 验证 $\angle AFB=2\angle PFA$.

✍ 【详细解析】

（Ⅰ）第一问详解

最优解法：

（Ⅰ）求椭圆的方程

1. 建立基本量关系： 由 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得 $a=2c$. 则左焦点 $F(-c,0)$，右顶点 $A(2c,0)$.
2. 确定点 $P$ 坐标： 点 $P$ 在直线 $x=a=2c$ 上，设 $P(2c,y_0)$. $k_{PF}=\frac{y_0-0}{2c-(-c)}=\frac{y_0}{3c}=\frac{1}{3}⟹y_0=c$. 故 $P(2c,c)$.
3. 利用面积求 $c$： 在 $△PFA$ 中，底边 $|AF|=a+c=3c$，高为 $P$ 点纵坐标 $|y_0|=c$. $S_{△PFA}=\frac{1}{2}\cdot 3c\cdot c=\frac{3}{2}{c}^2=\frac{3}{2}⟹c=1$. 由此得 $a=2,b^2=a^2-c^2=3$. 椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.

（Ⅱ） 第（Ⅱ）问详解

最优解法

** （Ⅱ）证明：$PF$ 平分 $\angle AFB$**

1. 求点 $B$ 的坐标： 由（Ⅰ）知 $P(2,1),F(-1,0),A(2,0)$. 过 $P$ 的直线与椭圆相切于 $B(x_0,y_0)$，切线方程为 $\frac{x_{0}x}{4}+\frac{y_{0}y}{3}=1$. 代入点 $P(2,1)$：$\frac{2x_0}{4}+\frac{y_0}{3}=1⟹y_0=3-\frac{3}{2}{x}_0$. 代入椭圆方程：$\frac{x_0^2}{4}+\frac{(3-\frac{3}{2}{x}_0{)}^2}{3}=1⟹x_0^2-3x_0+2=0$. 解得 $x_0=1$ 或 $x_0=2$. 当 $x_0=2$ 时，$y_0=0$，即点 $A$，舍去. 当 $x_0=1$ 时，$y_0=\frac{3}{2}$。故 $B(1,\frac{3}{2})$.

2. 验证角平分关系：

• 直线 $FA$ 在 $x$ 轴上，斜率 $k_{FA}=0$.
• $k_{PF}=\frac{1-0}{2-(-1)}=\frac{1}{3}$.
• $k_{FB}=\frac{3/2-0}{1-(-1)}=\frac{3}{4}$

设 $\angle PFA=\theta$，则 $\tan \theta =k_{PF}=\frac{1}{3}$ 利用二倍角公式： $\tan 2\theta =\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2/3}{8/9}=\frac{3}{4}$. 观察发现 $\tan \angle AFB=\tan 2\theta$. 由于 $B$ 在第一象限，$\angle AFB$ 为锐角，得 $\angle AFB=2\theta$. 即 $PF$ 平分 $\angle AFB$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形坐标面积求法、切点弦方程（极线方程）的降维应用、一点引双切线的切点定位、直角坐标系下角度相等的斜率等价转化、正切二倍角恒等式。
2. 核心方法：切点弦方程法（降维打击特技）。 解析几何大题中，若从椭圆外一点引两条切线求切点坐标，常规的“设直线 $y=k(x-2)+1$ 联立 $\Delta =0$ 求斜率再求切点”不仅计算量爆炸，还极易在根式化简中出错。本题演示的切点弦方程 $AB:\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$，能够跳过一切斜率讨论，直接一把锁定两切点连线的解析式。将其与椭圆联立退化为纯粹的一元二次方程，是顶级考场上防内耗的最高效降维大杀器。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（面积公式的底高选取失误）：在第一问计算 $△PFA$ 面积时，许多学生习惯性想用纯解析的 $|PF||PA|\sin \angle FPA$。必须敏锐发现点 $F,A$ 都在 $x$ 轴上，直接以 $|FA|$ 为底，以 $P$ 的纵坐标绝对值为高是最稳妥的防线。若误将 $A$ 的坐标记为 $(c,0)$ 将导致方程全盘崩坏。
• 避坑指南 2（利用斜率证明角平分线的逻辑断层）：算出 $\tan 2\alpha =\tan \angle AFB$ 后，切忌直接划等号宣布证明结束！必须要补上一句“因为两角度均为锐角（或在此区间正切单调），所以角度相等”。缺失这一层单调性映射的逻辑宣告，在阅卷标准中属于证明不严密，会被扣除 1 步骤分。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是一道披着常规计算外衣的**“射影几何/圆锥曲线高等几何性质”**真题。该题底层源自阿波罗尼斯（Apollonius）圆锥曲线论中极其著名的一个普适几何定理。天津卷命题组将其截取了一个最特殊的角落（动点固定在右顶点的切线上），将其具象化为一道考查计算与三角恒等变换的压轴大题，命题立意极度深远、数学质感极佳。
2. 结论推广（圆锥曲线的“切线-焦半径张角平分”绝美普适定理）： 为了让您的文献库知识图谱具备最高阶的直觉，我们将本题背后那个惊艳了千年的普适定理进行全域解构。

• 定理（焦半径张角平分定理）：从圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）外任意一点 $P$ 向曲线引两条切线，切点分别为 $A$ 和 $B$。若 $F$ 是该圆锥曲线的任意一个焦点，则射线 $PF$ 永远平分 $\angle AFB$。
• 深度解读：本题中，点 $P(2,1)$ 恰好是椭圆外的一点， $PA$ 和 $PB$ 恰好是切于 $A,B$ 的两条切线， $F$ 恰好是左焦点。因此， $PF$ 平分 $\angle AFB$ 绝非巧合，而是数学法则中绝对无法违背的刚性铁律。
• 将这一普适定理收录到知识图谱中，未来在任何模拟卷上，只要看到“椭圆外一点引两切线，证明该点与焦点的连线和切点与焦点连线的角关系”，无需任何计算，您的脑海中应当瞬间弹出“角平分线”这四个大字。

3. 方法推广（从代数斜率到角平分线定理的无缝合流）： 本题所展现的“利用 $\tan 2\alpha =\tan \beta$ 证明角平分线”的代数技术，是规避繁琐向量夹角余弦公式的王道。未来当题目变异为“证明两直线关于某直线对称”、或者是解析几何大题最后一问中出现的“证明入射光线与反射光线的几何关系”时，其底层的核心逻辑——“抓住某一条边平行于坐标轴的契机，将其转化为单向斜率的正切二倍角验证”，其技术本质完全合流。内化这一套三角代换流，是确保您在高考解析几何压轴论证中实现完美封杀的顶级铠甲。

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